Aplicação: Movimento Resistivo
c) Calcule e interprete
e
no limite
. Estes resultados condizem com sua intuição?
c) Calcule e interprete
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta está falando sobre Movimento Resistivo, que é quando um objeto está se movendo e encontra uma resistência, tipo o ar ou a água. A gente precisa calcular e entender o que acontece com a posição
e a velocidade
quando o tempo
vai para o infinito. E também ver se esses resultados fazem sentido para a gente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento resistivo, a força de resistência geralmente é proporcional à velocidade. Isso significa que a equação do movimento fica assim:
Aqui,
é a massa do objeto,
é a velocidade e
é uma constante positiva que representa a resistência.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos resolver para
:
Aqui,
é a velocidade inicial quando
.
Passo 4
Agora, para encontrar a posição
, a gente integra a velocidade:
Onde
é outra constante de integração. Se considerarmos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos considerar o limite quando
vai para o infinito.
Para a velocidade:
Isso significa que, com o tempo, a velocidade do objeto vai tendendo a zero devido à resistência.
Para a posição:
Então, a posição se aproxima de um valor finito
.
Resposta
No limite
, a velocidade
tende a 0 m/s e a posição
se aproxima de
. Isso faz sentido porque, com o tempo, a resistência acaba parando o objeto, fazendo a velocidade ir para zero, e a posição se estabilizar em um ponto específico.
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Resolva as equações diferenciais
a)
a)
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
.
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta
.