Aplicação: Movimento Resistivo
c) Calcule e interprete e no limite . Estes resultados condizem com sua intuição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está falando sobre Movimento Resistivo, que é quando um objeto está se movendo e encontra uma resistência, tipo o ar ou a água. A gente precisa calcular e entender o que acontece com a posição e a velocidade quando o tempo vai para o infinito. E também ver se esses resultados fazem sentido para a gente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento resistivo, a força de resistência geralmente é proporcional à velocidade. Isso significa que a equação do movimento fica assim:
Aqui, é a massa do objeto, é a velocidade e é uma constante positiva que representa a resistência.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis:
Integrando os dois lados:
Onde é a constante de integração. Podemos resolver para :
Aqui, é a velocidade inicial quando .

Passo 4

Agora, para encontrar a posição , a gente integra a velocidade:
Onde é outra constante de integração. Se considerarmos que , então:

Passo 5

Agora, vamos considerar o limite quando vai para o infinito.
Para a velocidade:
Isso significa que, com o tempo, a velocidade do objeto vai tendendo a zero devido à resistência.
Para a posição:
Então, a posição se aproxima de um valor finito .

Resposta

No limite , a velocidade tende a 0 m/s e a posição se aproxima de . Isso faz sentido porque, com o tempo, a resistência acaba parando o objeto, fazendo a velocidade ir para zero, e a posição se estabilizar em um ponto específico.

Exercícios relacionados

para .
Resolva as equações diferenciais
a)
Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta .
Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta .