Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta . Aqui, temos duas curvas que delimitam : e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolveremos o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, as interseções estão em e . Logo, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região . Para entre 0 e 2, a curva está acima da reta . Como queremos girar essa região em torno de , o método dos cilindros é apropriado. Esse método envolve integrar o produto do perímetro do cilindro pela altura e pela espessura infinitesimal.

Passo 4

Vamos configurar a integral usando o método dos cilindros. A fórmula geral para o volume é:
Aqui:
  • O raio é a distância entre o eixo de rotação e uma coordenada na região, que é .
  • A altura é a diferença entre as funções e .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos o integrando:
Agora, integraremos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Avaliando de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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b)
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