Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
. Aqui, temos duas curvas que delimitam
:
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolveremos o sistema:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, as interseções estão em
e
. Logo, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
. Para
entre 0 e 2, a curva
está acima da reta
. Como queremos girar essa região em torno de
, o método dos cilindros é apropriado. Esse método envolve integrar o produto do perímetro do cilindro pela altura e pela espessura infinitesimal.
Passo 4
Vamos configurar a integral usando o método dos cilindros. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui:
- O raio é a distância entre o eixo de rotação
e uma coordenada na região, que é . - A altura é a diferença entre as funções
e .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos o integrando:
Agora, integraremos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Avaliando de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
.
Aplicação: Movimento Resistivo
c) Calcule e interprete e
no limite
. Estes resultados condizem com sua intuição?
c) Calcule e interprete
Resolva as equações diferenciais
b)
b)
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial