Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pelas curvas e . A missão é encontrar o volume do sólido que se forma quando essa região gira em torno da reta . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região . Temos , que é uma parábola voltada para a direita, e , que é uma linha reta passando pela origem com inclinação 45 graus.
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, e . Correspondendo aos valores de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, vamos visualizar o sólido gerado pela rotação em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos, ou melhor, dos anéis (washers), já que estamos tendo uma rotação em torno de uma linha que não passa pela região .
Passo 5
No método dos anéis, a ideia é calcular a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados durante a rotação. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
é o raio externo (distância da curva mais distante da linha de rotação)
é o raio interno (distância da curva mais próxima da linha de rotação)
Passo 6
Vamos identificar e . A linha de rotação é .
Para a curva :
A distância até é
Para a parábola :
Resolvendo para , temos
A distância até é também
Mas precisamos considerar qual curva está mais próxima ou mais distante da linha de rotação em cada intervalo.
Passo 7
Observando as funções e , percebemos que para entre 0 e 2:
está à direita da parábola
Portanto:
O raio externo será a distância da linha até a curva :
O raio interno será a distância da linha até a parábola :
Na verdade, ambas as curvas estão a mesma distância da linha de rotação, por isso precisamos ajustar a abordagem.
Passo 8
Desculpe a confusão anterior. Vamos reconsiderar:
Ao girar em torno de , o raio de cada disco será a distância vertical entre e a curva.
Para a linha :
Para a parábola , resolvemos para : . Porém, ao girar em torno de , o raio interno também será
Na verdade, precisamos reavaliar o método. Como ambas as curvas estão sendo giradas em torno da mesma linha, vamos usar a fórmula do volume de rotação para cada uma e depois subtrair.
Passo 9
Vamos calcular o volume gerado pela rotação da região limitada entre e em torno de .
Usando o método dos discos:
Mas isso resultaria em zero, o que está incorreto. Vamos adotar o método das cascas cilíndricas.
Passo 10
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é mais apropriado aqui. A fórmula é:
Onde:
O raio é a distância da linha de rotação até um elemento infinitesimal da região
A altura é a distância horizontal entre as duas curvas para um valor de