Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pelas curvas e . A missão é encontrar o volume do sólido que se forma quando essa região gira em torno da reta . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região . Temos , que é uma parábola voltada para a direita, e , que é uma linha reta passando pela origem com inclinação 45 graus.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Então, e . Correspondendo aos valores de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos visualizar o sólido gerado pela rotação em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos, ou melhor, dos anéis (washers), já que estamos tendo uma rotação em torno de uma linha que não passa pela região .

Passo 5

No método dos anéis, a ideia é calcular a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados durante a rotação. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é o raio externo (distância da curva mais distante da linha de rotação)
  • é o raio interno (distância da curva mais próxima da linha de rotação)

Passo 6

Vamos identificar e . A linha de rotação é .
Para a curva :
  • A distância até é
Para a parábola :
  • Resolvendo para , temos
  • A distância até é também
Mas precisamos considerar qual curva está mais próxima ou mais distante da linha de rotação em cada intervalo.

Passo 7

Observando as funções e , percebemos que para entre 0 e 2:
  • está à direita da parábola
Portanto:
  • O raio externo será a distância da linha até a curva :
  • O raio interno será a distância da linha até a parábola :
Na verdade, ambas as curvas estão a mesma distância da linha de rotação, por isso precisamos ajustar a abordagem.

Passo 8

Desculpe a confusão anterior. Vamos reconsiderar:
Ao girar em torno de , o raio de cada disco será a distância vertical entre e a curva.
  • Para a linha :
  • Para a parábola , resolvemos para : . Porém, ao girar em torno de , o raio interno também será
Na verdade, precisamos reavaliar o método. Como ambas as curvas estão sendo giradas em torno da mesma linha, vamos usar a fórmula do volume de rotação para cada uma e depois subtrair.

Passo 9

Vamos calcular o volume gerado pela rotação da região limitada entre e em torno de .
Usando o método dos discos:
Mas isso resultaria em zero, o que está incorreto. Vamos adotar o método das cascas cilíndricas.

Passo 10

Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é mais apropriado aqui. A fórmula é:
Onde:
  • O raio é a distância da linha de rotação até um elemento infinitesimal da região
  • A altura é a distância horizontal entre as duas curvas para um valor de

Passo 11

Identificamos:
  • ,
  • Raio:
  • Altura: diferença entre as funções e
Então, a altura é

Passo 12

Substituindo na fórmula:

Passo 13

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 14

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 15

Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Aplicação: Movimento Resistivo
c) Calcule e interprete e no limite . Estes resultados condizem com sua intuição?
para .
Seja uma região limitada por e . Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta .
Resolva as equações diferenciais
b)