Considere os pontos A=(3,4,5), P=(1, n, m) e a reta r: x-22=1-y2=z. Seja s a reta paralela à r passando pelo ponto A. Assinale a alternativa com os valores de m e n tais que o ponto P pertença a reta s.
a) m=72, n=3.
b) m=52, n=5
c) m=0, n=11.
d) m=1, n=8.
e) m=4, n=2.
f) m=72, n=5

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pontos, x - 22 = 1 - y2 = z e , além de uma reta definida pelas equações:
A reta é paralela a e passa pelo ponto . Queremos encontrar os valores de e para que o ponto pertença à reta .
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço, especificamente o estudo de retas paralelas e equações paramétricas.
O que precisamos: Entender como encontrar a equação paramétrica de uma reta paralela a outra e passar por um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta x - 22 = 1 - y2 = z . A reta está dada por:
x = 2t + 2
Podemos reescrever isso em termos de parâmetros. Seja y = 1 - 2t o parâmetro, então:
z = t
O vetor direção da reta é .

Passo 3

Como a reta x = 2t + 3 é paralela a y = -2t + 4 , ela terá o mesmo vetor direção z = t + 5 . Além disso, passa pelo ponto .
Então, a equação paramétrica da reta é:
Aqui, é o parâmetro que varia.

Passo 4

Queremos que o ponto 1 = 2t + 3 (equação para x) pertença à reta n = -2t + 4 (equação para y) . Isso significa que devemos encontrar um valor de m = t + 5 (equação para z) que satisfaz as equações paramétricas para , e .
Vamos igualar as coordenadas de às equações de :
çã
çã
çã

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para encontrar 1 = 2t + 3 :
1 - 3 = 2t
Subtraindo 3 de ambos os lados:
-2 = 2t
t = -1
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora que temos n = -2(-1) + 4 = 2 + 4 = 6 , vamos substituir esse valor nas outras duas equações para encontrar m = (-1) + 5 = 4 e :
Para :
Para :

Resposta

Os valores de m = 4 e n = 6 e são:
Entretanto, observando as alternativas, nenhum dos pares corresponde exatamente a esses valores. Pode haver um erro na formulação do exerc��cio ou nas alternativas fornecidas.

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