Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico da parábola dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar a forma padrão da parábola. A equação dada é:
Vamos isolar os termos em :
Passo 3
Agora, completamos o quadrado para os termos de . Para completar o quadrado, tomamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos a equação na forma padrão de uma parábola que abre para a direita:
Comparando com a nossa equação , identificamos:
Vértice =
então
Passo 5
Com o valor de , podemos encontrar o foco e a diretriz:
Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está a uma distância à direita do vértice. Então:
Diretriz: A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, a uma distância . A equação da diretriz é:
Passo 6
Agora, vamos resumir todas as informações encontradas:
Vértice:
Foco:
Equação da Diretriz:
Para construir o gráfico, sabemos que a parábola abre para a direita com vértice em , foco em e diretriz na linha .