Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
-4 x+y^2+2 y+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico da parábola dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar a forma padrão da parábola. A equação dada é:
-4x + y^2 + 2y + 1 = 0
Vamos isolar os termos em y^2 + 2y = 4x - 1 :

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para os termos de (22)^2 = 1 . Para completar o quadrado, tomamos o coeficiente de y^2 + 2y + 1 = 4x - 1 + 1 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(y + 1)^2 = 4x
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, temos a equação na forma padrão de uma parábola que abre para a direita:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação , identificamos:
  • Vértice =
  • então

Passo 5

Com o valor de Foco = (h + p, k) = (0 + 1, -1) = (1, -1) , podemos encontrar o foco e a diretriz:
  • Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está a uma distância x = h - p = 0 - 1 = -1 à direita do vértice. Então:
  • Diretriz: A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, a uma distância . A equação da diretriz é:

Passo 6

Agora, vamos resumir todas as informações encontradas:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da Diretriz:
Para construir o gráfico, sabemos que a parábola abre para a direita com vértice em , foco em e diretriz na linha .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da Diretriz:

Exercícios relacionados