Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta se uma determinada aplicação é uma transformação linear. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, e pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma transformação linear e como testar se uma função segue essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em vetores de outro espaço vetorial, mantendo duas propriedades principais:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
    Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial seja preservada pela transformação.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que a gente tem: T(x, y) = x * y. Queremos verificar se essa função satisfaz as duas propriedades de uma transformação linear.

Passo 4

Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Suponha que temos dois vetores u = (x₁, y₁) e v = (x₂, y₂). Então:
T(u + v) = T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (x₁ + x₂) * (y₁ + y₂)
Expandindo isso, fica:
x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + x₂y₂
Agora, vamos calcular T(u) + T(v):
T(u) + T(v) = x₁y₁ + x₂y₂
Claramente, T(u + v) ≠ T(u) + T(v) porque temos termos extras: x₁y₂ + x₂y₁

Passo 5

Já que a primeira propriedade não é satisfeita, não precisa nem testar a segunda. A função T(x, y) = x * y não é uma transformação linear porque não preserva a adição de vetores.

Resposta

A aplicação T(x, y) = x * y não é uma transformação linear.

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