Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta se uma determinada aplicação é uma transformação linear. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, e pra resolver isso, a gente precisa entender o que é uma transformação linear e como testar se uma função segue essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em vetores de outro espaço vetorial, mantendo duas propriedades principais:
Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial seja preservada pela transformação.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que a gente tem: T(x, y) = x * y. Queremos verificar se essa função satisfaz as duas propriedades de uma transformação linear.
Passo 4
Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Suponha que temos dois vetores u = (x₁, y₁) e v = (x₂, y₂). Então:
T(u + v) = T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (x₁ + x₂) * (y₁ + y₂)
Expandindo isso, fica:
x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + x₂y₂
Agora, vamos calcular T(u) + T(v):
T(u) + T(v) = x₁y₁ + x₂y₂
Claramente, T(u + v) ≠ T(u) + T(v) porque temos termos extras: x₁y₂ + x₂y₁
Passo 5
Já que a primeira propriedade não é satisfeita, não precisa nem testar a segunda. A função T(x, y) = x * y não é uma transformação linear porque não preserva a adição de vetores.
Resposta
A aplicação T(x, y) = x * y não é uma transformação linear.