Para quais valores de
, o sistema
tem
b) infinitas soluções;
b) infinitas soluções;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
A pergunta é: para quais valores de
esse sistema tem infinitas soluções? Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ter:
- Uma única solução
- Infinitas soluções
- Nenhuma solução
No caso de infinitas soluções, as duas retas representadas pelas equações são coincidntes, ou seja, são a mesma reta. Isso acontece quando as equações são múltiplos uma da outra.
Passo 3
Para verificar quando as equações são múltiplos, podemos analisar os coeficientes e montar uma matriz dos coeficientes do sistema:
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Calculando o determinante:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, esse determinante deve ser igual a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante:
Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
para os quais o sistema tem infinitas soluções são
e
.