Para quais valores de alpha, o sistema lalpha x+y=0 x+(2 alpha+1) y=0 tem
b) infinitas soluções;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
l alpha x + y = 0 x + (2alpha + 1)y = 0
A pergunta é: para quais valores de esse sistema tem infinitas soluções? Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ter:
  • Uma única solução
  • Infinitas soluções
  • Nenhuma solução
No caso de infinitas soluções, as duas retas representadas pelas equações são coincidntes, ou seja, são a mesma reta. Isso acontece quando as equações são múltiplos uma da outra.

Passo 3

Para verificar quando as equações são múltiplos, podemos analisar os coeficientes e montar uma matriz dos coeficientes do sistema:
alpha & 1 1 & 2alpha + 1
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = alpha cdot (2alpha + 1) - 1 cdot 1 = 2alpha^2 + alpha - 1
Para que o sistema tenha infinitas soluções, esse determinante deve ser igual a zero:
2alpha^2 + alpha - 1 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os valores de De.
Usando a fórmula de Bhaskara:
alpha = -1 pm raiz94 = -1 pm 34
Onde:
  • alpha = -1 + 34 = 24 = 0,5
  • alpha = -1 - 34 = -44 = -1
Calculando o discriminante:
Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de para os quais o sistema tem infinitas soluções são e .

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