(UFT)Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão
é:
a) 32 i
a) 32 i
Passo 1
Beleza! Você quer calcular o valor de
. Vamos resolver isso passo a passo usando os números complexos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a unidade imaginária
e como trabalhar com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a unidade imaginária, definida por
. Isso significa que
. Essa propriedade vai ser muito útil para simplificar nossas contas.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão
. Uma maneira fácil de fazer isso é usando o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões da forma
. A fórmula é:
No nosso caso,
Passo 4
Aplicando o binômio de Newton, temos:
Onde
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
e , então . - Segundo termo:
e , então . - Terceiro termo:
e , então . - Quarto termo:
e , então . - Quinto termo:
e , então .
Passo 6
Agora, juntando todos os termos calculados:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
- Termos reais:
- Termos imaginários:
Passo 8
Portanto, a expressão simplificada fica:
Resposta
O valor da expressão
é
.
Exercícios relacionados
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
tal que
.
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
d)
d)
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;