(UFT)Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão é:
a) 32 i

Passo 1

Beleza! Você quer calcular o valor de . Vamos resolver isso passo a passo usando os números complexos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a unidade imaginária e como trabalhar com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a unidade imaginária, definida por . Isso significa que . Essa propriedade vai ser muito útil para simplificar nossas contas.

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão . Uma maneira fácil de fazer isso é usando o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões da forma . A fórmula é:

No nosso caso, , e .

Passo 4

Aplicando o binômio de Newton, temos:

Onde são os coeficientes binomiais.

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  • Primeiro termo: e , então .
  • Segundo termo: e , então .
  • Terceiro termo: e , então .
  • Quarto termo: e , então .
  • Quinto termo: e , então .

Passo 6

Agora, juntando todos os termos calculados:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
  • Termos reais:
  • Termos imaginários:

Passo 8

Portanto, a expressão simplificada fica:

Resposta

O valor da expressão é .

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Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
tal que .
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
d)
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;