(UFT)Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i+1)^4 é:
a) 32 i

Passo 1

Beleza! Você quer calcular o valor de (i + 1)^4. Vamos resolver isso passo a passo usando os números complexos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a unidade imaginária i e como trabalhar com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que i é a unidade imaginária, definida por i = raiz-1. Isso significa que i^2 = -1. Essa propriedade vai ser muito útil para simplificar nossas contas.

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão (i + 1)^4. Uma maneira fácil de fazer isso é usando o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões da forma (a + b)^n. A fórmula é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
No nosso caso, a = i, b = 1 e n = 4.

Passo 4

Aplicando o binômio de Newton, temos:
(i + 1)^4 = binom40i^4 + binom41i^3 cdot 1 + binom42i^2 cdot 1^2 + binom43i cdot 1^3 + binom441^4
Onde binom4k são os coeficientes binomiais.

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  • Primeiro termo: binom40 = 1 e i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1, então 1 cdot 1 = 1.
  • Segundo termo: binom41 = 4 e i^3 = i^2 cdot i = (-1) cdot i = -i, então 4 cdot (-i) = -4i.
  • Terceiro termo: binom42 = 6 e i^2 = -1, então 6 cdot (-1) = -6.
  • Quarto termo: binom43 = 4 e i = i, então 4 cdot i = 4i.
  • Quinto termo: binom44 = 1 e 1^4 = 1, então 1 cdot 1 = 1.

Passo 6

Agora, juntando todos os termos calculados:
(i + 1)^4 = 1 - 4i - 6 + 4i + 1

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
  • Termos reais: 1 - 6 + 1 = -4
  • Termos imaginários: -4i + 4i = 0

Passo 8

Portanto, a expressão simplificada fica:
(i + 1)^4 = -4

Resposta

O valor da expressão (i + 1)^4 é -4.

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