Resolva os seguintes sistemas por eliminaçăo Gauss-Jordan. (x=3, y=3, z=4)
2 x+3 y-z & =-7 x+y+z & =4 -x-2 y+3 z & =15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
2x + 3y - z &= -7 x + y + z &= 4 -x - 2y + 3z &= 15
Para resolver isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer umas manobras para isolar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as equações e aplicar as operações necessárias.
2 & 3 & -1 & | & -7 1 & 1 & 1 & | & 4 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 3

Agora, queremos ter um 1 na primeira posição da primeira linha. Se já não tiver, a gente troca as linhas ou divide a linha inteira por um número. No caso, a segunda linha já começa com 1, então vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar.
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 3 & -1 & | & -7 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 4

Com o 1 na primeira posição, vamos eliminar os números abaixo dele na primeira coluna. Para isso, a gente faz:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 1
Vamos fazer isso:
Linha 2:
2 - 2 times 1 = 0 3 - 2 times 1 = 1 -1 - 2 times 1 = -3 -7 - 2 times 4 = -15
Linha 3:
-1 + 1 = 0 -2 + 1 = -1 3 + 1 = 4 15 + 4 = 19
A matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & | & -15 0 & -1 & 4 & | & 19

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2), que já temos. Vamos eliminar o número abaixo dele na mesma coluna.
Para isso, fazemos:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
Calculando:
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 4 + (-3) = 1 19 + (-15) = 4
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & | & -15 0 & 0 & 1 & | & 4

Passo 6

Agora que temos 1 na posição (3,3), podemos começar a substituir para encontrar os valores das variáveis.
Começamos pela terceira linha, que já nos dá diretamente o valor de z = 4 :

Passo 7

Com y - 3z = -15 y - 3 times 4 = -15 y - 12 = -15 y = -15 + 12 y = -3 , vamos substituir na segunda linha para encontrar :

Passo 8

Agora, com x + y + z = 4 x + (-3) + 4 = 4 x + 1 = 4 x = 4 - 1 x = 3 e , substituímos na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = -3, z = 4

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