Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
e) x0=y0=r

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinar as condições sobre os números , e para que uma circunferência de raio , centrada no ponto no primeiro quadrante, intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Ou seja, estamos trabalhando com geometria analítica, lidando com equações de circunferências e suas interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio é:
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, precisamos ver onde essa circunferência cruza o eixo (onde ) e o eixo (onde ).

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção com o eixo (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 . Substituindo (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação da circunferência:
(x - x0)^2 = r^2 - y0^2
Simplificando:
r^2 - y0^2 >= 0 Rightarrow y0 <= r
Para resolver essa equação em relação a , isolamos :
Para que haja interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:

Passo 4

Da mesma forma, vamos encontrar a interseção com o eixo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 . Substituindo x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência:
(y - y0)^2 = r^2 - x0^2
Simplificando:
r^2 - x0^2 >= 0 Rightarrow x0 <= r
Isolando :
Novamente, para ter interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:

Passo 5

Agora, queremos que a circunferência intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Isso ocorre quando a interseção com cada eixo resulta em exatamente um ponto, ou seja, quando as equações resultantes têm exatamente uma solução.
Isso acontece quando o lado direito das equações y0 = r e x0 = r e é igual a zero, pois então a única solução é e , respectivamente.
Portanto, para ter apenas um ponto de interseção com cada eixo, devemos ter:

Resposta

As condições necessárias são . Ou seja, o centro da circunferência deve estar no ponto e seu raio deve ser igual a .

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