Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinar as condições sobre os números
,
e
para que uma circunferência de raio
, centrada no ponto
no primeiro quadrante, intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Ou seja, estamos trabalhando com geometria analítica, lidando com equações de circunferências e suas interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em
e raio
é:
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, precisamos ver onde essa circunferência cruza o eixo
(onde
) e o eixo
(onde
).
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção com o eixo
. Substituindo
na equação da circunferência:
Simplificando:
Para resolver essa equação em relação a
, isolamos
:
Para que haja interseção real com o eixo
, o lado direito deve ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Da mesma forma, vamos encontrar a interseção com o eixo
. Substituindo
na equação da circunferência:
Simplificando:
Isolando
:
Novamente, para ter interseção real com o eixo
, o lado direito deve ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Agora, queremos que a circunferência intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Isso ocorre quando a interseção com cada eixo resulta em exatamente um ponto, ou seja, quando as equações resultantes têm exatamente uma solução.
Isso acontece quando o lado direito das equações
e
é igual a zero, pois então a única solução é
e
, respectivamente.
Portanto, para ter apenas um ponto de interseção com cada eixo, devemos ter:
Resposta
As condições necessárias são
. Ou seja, o centro da circunferência deve estar no ponto
e seu raio deve ser igual a
.