Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinar as condições sobre os números , e para que uma circunferência de raio , centrada no ponto no primeiro quadrante, intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Ou seja, estamos trabalhando com geometria analítica, lidando com equações de circunferências e suas interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em e raio é:
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, precisamos ver onde essa circunferência cruza o eixo (onde ) e o eixo (onde ).
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção com o eixo . Substituindo na equação da circunferência:
Simplificando:
Para resolver essa equação em relação a , isolamos :
Para que haja interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Da mesma forma, vamos encontrar a interseção com o eixo . Substituindo na equação da circunferência:
Simplificando:
Isolando :
Novamente, para ter interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Agora, queremos que a circunferência intercepte os eixos coordenados em **exatamente um ponto**. Isso ocorre quando a interseção com cada eixo resulta em exatamente um ponto, ou seja, quando as equações resultantes têm exatamente uma solução.
Isso acontece quando o lado direito das equações e é igual a zero, pois então a única solução é e , respectivamente.
Portanto, para ter apenas um ponto de interseção com cada eixo, devemos ter:
Resposta
As condições necessárias são . Ou seja, o centro da circunferência deve estar no ponto e seu raio deve ser igual a .