Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência: e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinar as condições sobre os números , e para que uma circunferência de raio , centrada no ponto no primeiro quadrante, intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Ou seja, estamos trabalhando com geometria analítica, lidando com equações de circunferências e suas interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em e raio é: Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, precisamos ver onde essa circunferência cruza o eixo (onde ) e o eixo (onde ).

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção com o eixo . Substituindo na equação da circunferência: Simplificando: Para resolver essa equação em relação a , isolamos : Para que haja interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:

Passo 4

Da mesma forma, vamos encontrar a interseção com o eixo . Substituindo na equação da circunferência: Simplificando: Isolando : Novamente, para ter interseção real com o eixo , o lado direito deve ser maior ou igual a zero:

Passo 5

Agora, queremos que a circunferência intercepte os eixos coordenados em **exatamente um ponto**. Isso ocorre quando a interseção com cada eixo resulta em exatamente um ponto, ou seja, quando as equações resultantes têm exatamente uma solução. Isso acontece quando o lado direito das equações e é igual a zero, pois então a única solução é e , respectivamente. Portanto, para ter apenas um ponto de interseção com cada eixo, devemos ter:

Resposta

As condições necessárias são . Ou seja, o centro da circunferência deve estar no ponto e seu raio deve ser igual a .

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