Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: tal que .

Passo 1

Neste exercício, precisamos verificar se a aplicação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores e . Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, percebemos que:
A menos que , o que não é garantido para todos os valores de , a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de aditividade não é satisfeita, não é necessário verificar a homogeneidade, pois ambas as propriedades devem ser verdadeiras para que seja uma transformação linear.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

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Considere os vetores e . Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Determine e em cada um dos seguintes casos: .
Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .
Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de: