Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: T: Re^2 Re tal que T(x, y)=x y.

Passo 1

Neste exercício, precisamos verificar se a aplicação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores T(u + v) &= T(x1 + x2, y1 + y2) &= (x1 + x2)(y1 + y2) &= x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 e T(u) + T(v) = x1y1 + x2y2 . Então:
T(u + v) = T(u) + T(v) + x1y2 + x2y1
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, percebemos que:
A menos que , o que não é garantido para todos os valores de , a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de aditividade não é satisfeita, não é necessário verificar a homogeneidade, pois ambas as propriedades devem ser verdadeiras para que seja uma transformação linear.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

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