Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
tal que
.
Passo 1
Neste exercício, precisamos verificar se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares e as propriedades que elas devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação linear deve cumprir. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e para qualquer escalar
, as seguintes condições forem verdadeiras:
-
Aditividade:
-
Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores
e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, percebemos que:
A menos que
, o que não é garantido para todos os valores de
, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Como a propriedade de aditividade não é satisfeita, não é necessário verificar a homogeneidade, pois ambas as propriedades devem ser verdadeiras para que
seja uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.
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Considere os vetores
e
. Determine um vetor que seja ortogonal a ambos
e
.
Determine
e
em cada um dos seguintes casos:
.
Obtenha a fórmula explícita da transformação linear
, tal que
e verifique se
.
Seja
a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de: