Considere os vetores u=(1,-1,4), v=(3,2,-2) e w=(0,-2,1). Determine um vetor que seja ortogonal a ambos v e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores e . Aqui, “ortogonal” quer dizer que o vetor que a gente vai encontrar forma um ângulo de 90 graus com cada um desses vetores. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que é uma ferramenta da álgebra vetorial que nos ajuda exatamente com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) e é outro vetor que é perpendicular a ambos e . A fórmula para calcular o produto vetorial é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores v = (3, 2, -2) w = (0, -2, 1) e . Primeiro, identificamos os componentes de cada vetor:

Passo 4

Agora, calculamos cada componente do produto vetorial:
v times w = ( 2 cdot 1 - (-2) cdot (-2), (-2) cdot 0 - 3 cdot 1, 3 cdot (-2) - 2 cdot 0 )
Fazendo as contas:
v times w = ( 2 - 4, 0 - 3, -6 - 0 ) = (-2, -3, -6)

Resposta

O vetor que é ortogonal tanto a quanto a é .

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