Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície 2 x^(2/3) + 2 y^(2/3) - 3 z = 0 que está sobre o quadrado definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol. 4/15 * (9 * raiz(3) - 8 * raiz(2) + 1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da superfície definida pela equação que está sobre o quadrado e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas de superfícies definidas de forma implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma explícita, isolando :
Agora, temos em função de e , o que facilita o cálculo da área.

Passo 3

A fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Á
Vamos identificar :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da área:
Á
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos considerar a expressão dentro da raiz:
Agora, podemos integrar separadamente em e sobre o intervalo de 0 a 1.

Passo 7

Calculando a integral dupla:
Á
Após resolver as integrais, chegamos ao resultado final.

Resposta

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