Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície
que está sobre o quadrado definido por
e
.
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
(d) Encontrar a área da superfície
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da superfície definida pela equação
que está sobre o quadrado
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas de superfícies definidas de forma implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma explícita, isolando
:
Agora, temos
em função de
e
, o que facilita o cálculo da área.
Passo 3
A fórmula para calcular a área de uma superfície
sobre uma região
no plano
é:
Vamos identificar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos considerar a expressão dentro da raiz:
Agora, podemos integrar separadamente em
e
sobre o intervalo de 0 a 1.
Passo 7
Calculando a integral dupla:
Após resolver as integrais, chegamos ao resultado final.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial.
.
Calcule o fluxo de
através da superfície:
© a través da superfície
, no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
©
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
Calcule a integral,
, do campo escalar
, sobre as superfícies
(g) , sobre o cubo que está no primeiro octante delimitado pelos planos
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
(g)
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.
Aplicações, calcule a grandeza física solicita:
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
, dentro do cilindro
, se a densidade superficial
é constante
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.
(a) Calcule a massa da lâmina que está definida pela porção de parabolóide
Anton 8ed exer 16.5.24
Sol.