Uma das aplicações mais importantes da função exponencial é no cálculo de juros compostos. Suponha que seja o capital inicial que uma pessoa investe, a uma taxa
de juros , ao longo do tempo em anos. Estes juros poderiam ser compostos, por exemplo, mensalmente, semanalmente, diariamente, de hora em hora, etc. É possível mostrar que, se os juros fossem compostos continuamente, o capital ao final de anos seria dado por
Se uma pessoa investe 2500 reais num fundo de investimentos onde a taxa é de 12 por cento, isto é , quanto tempo levará para que ela tenha 10000 reais? E qual deveria ser a taxa (responda em linguagem percentual) de juros para que ela conseguisse 10000 reais em um ano? Considere .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre juros compostos continuamente, que é uma forma de calcular quanto dinheiro você vai ter no futuro quando investe hoje a uma certa taxa de juros. A fórmula que usamos para isso é:
Onde:
  • é o capital após tempo .
  • é o capital inicial.
  • é a taxa de juros.
  • é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.
Vamos precisar dessa fórmula para resolver as duas partes do exercício: descobrir quanto tempo leva para o dinheiro crescer de 2500 para 10000 reais com uma taxa de 12% ao ano, e descobrir qual taxa seria necessária para alcançar 10000 reais em 1 ano.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver quanto tempo leva para transformar 2500 em 10000 reais com uma taxa de juros de 12% ao ano.
Começamos plugando os valores na fórmula:

Passo 3

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos os dois lados da equação por 2500:
Simplificando:

Passo 4

Para resolver para , vamos usar o logaritmo natural ( ), que é a operação inversa da função exponencial. Aplicando nos dois lados:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por 0,12:
Dado que :

Passo 6

Agora, vamos descobrir qual seria a taxa de juros para que 2500 reais se tornem 10000 reais em apenas 1 ano.
Usamos novamente a fórmula:
Dividindo por 2500:

Passo 7

Aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para isolar :
Dado que :
Para expressar isso em percentual, multiplicamos por 100:

Resposta

Para transformar 2500 reais em 10000 reais com uma taxa de juros de 12% ao ano, leva aproximadamente 11,67 anos. Se desejar alcançar 10000 reais em 1 ano, a taxa de juros necessária seria de 140% ao ano.

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Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir: