Uma das aplicações mais importantes da função exponencial é no cálculo de juros compostos. Suponha que
seja o capital inicial que uma pessoa investe, a uma taxa
de juros
, ao longo do tempo
em anos. Estes juros poderiam ser compostos, por exemplo, mensalmente, semanalmente, diariamente, de hora em hora, etc. É possível mostrar que, se os juros fossem compostos continuamente, o capital ao final de
anos seria dado por
Se uma pessoa investe 2500 reais num fundo de investimentos onde a taxa é de 12 por cento, isto é
, quanto tempo levará para que ela tenha 10000 reais? E qual deveria ser a taxa (responda em linguagem percentual) de juros para que ela conseguisse 10000 reais em um ano? Considere
.
de juros
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre juros compostos continuamente, que é uma forma de calcular quanto dinheiro você vai ter no futuro quando investe hoje a uma certa taxa de juros. A fórmula que usamos para isso é:
Onde:
-
é o capital após tempo . -
é o capital inicial. -
é a taxa de juros. -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.
Vamos precisar dessa fórmula para resolver as duas partes do exercício: descobrir quanto tempo leva para o dinheiro crescer de 2500 para 10000 reais com uma taxa de 12% ao ano, e descobrir qual taxa seria necessária para alcançar 10000 reais em 1 ano.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver quanto tempo
leva para transformar 2500 em 10000 reais com uma taxa de juros de 12% ao ano.
Começamos plugando os valores na fórmula:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos os dois lados da equação por 2500:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver para
, vamos usar o logaritmo natural (
), que é a operação inversa da função exponencial. Aplicando
nos dois lados:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por 0,12:
Dado que
:
Passo 6
Agora, vamos descobrir qual seria a taxa de juros
para que 2500 reais se tornem 10000 reais em apenas 1 ano.
Usamos novamente a fórmula:
Dividindo por 2500:
Passo 7
Aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para isolar
:
Dado que
:
Para expressar isso em percentual, multiplicamos por 100:
Resposta
Para transformar 2500 reais em 10000 reais com uma taxa de juros de 12% ao ano, leva aproximadamente 11,67 anos. Se desejar alcançar 10000 reais em 1 ano, a taxa de juros necessária seria de 140% ao ano.
Exercícios relacionados
Use coordenadas polares para calcular
. S:
.
Determine o domínio da função
.
Calcule o volume entre o cone
e a esfera
.
Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir: