Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o problema de derivação da função
. Para isso, vamos usar as regras de derivação do cálculo diferencial, especificamente a regra da potência, que é fundamental para derivar funções que envolvem potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra da potência. A função
pode ser escrita como:
Isso nos permite aplicar diretamente a regra da potência, já que o expoente de
está claramente indicado.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da potência para derivar
. A regra da potência diz que, para uma função da forma
, onde
é uma constante e
é o expoente, a derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da regra da potência:
Passo 5
Por fim, podemos reescrever
de volta para uma fração, se preferir:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule o volume entre o cone
e a esfera
.
Uma das aplicações mais importantes da função exponencial é no cálculo de juros compostos. Suponha que
seja o capital inicial que uma pessoa investe, a uma taxa
de juros , ao longo do tempo
em anos. Estes juros poderiam ser compostos, por exemplo, mensalmente, semanalmente, diariamente, de hora em hora, etc. É possível mostrar que, se os juros fossem compostos continuamente, o capital ao final de
anos seria dado por
de juros
Se uma pessoa investe 2500 reais num fundo de investimentos onde a taxa é de 12 por cento, isto é
, quanto tempo levará para que ela tenha 10000 reais? E qual deveria ser a taxa (responda em linguagem percentual) de juros para que ela conseguisse 10000 reais em um ano? Considere
.
Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir:
Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir: