Use coordenadas polares para calcular
. S:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e transformação de coordenadas. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio de integração. As integrais vão de
a
e de
a
. Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.
Passo 3
Para usar coordenadas polares, lembramos que
e
. Além disso,
e o elemento de área
vira
. Isso simplifica a integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão
vira
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.