Use coordenadas polares para calcular . S: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e transformação de coordenadas. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio de integração. As integrais vão de a e de a . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Para usar coordenadas polares, lembramos que e . Além disso, e o elemento de área vira . Isso simplifica a integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão vira . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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