Use coordenadas polares para calcular integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x. S: pi / 10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e transformação de coordenadas. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio de integração. As integrais vão de a e de a . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Para usar coordenadas polares, lembramos que e . Além disso, e o elemento de área vira . Isso simplifica a integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão integral0^pi/2 integral0^1 r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi/2 integral0^1 r^4 , dr , dtheta vira . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :

Passo 6

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a integral0^pi/2 15 , dtheta = 15 [ theta ]0^pi/2 = 15 cdot pi2 = pi10 :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados