Use coordenadas polares para calcular
. S:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e transformação de coordenadas. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio de integração. As integrais vão de
a
e de
a
. Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante.
Passo 3
Para usar coordenadas polares, lembramos que
e
. Além disso,
e o elemento de área
vira
. Isso simplifica a integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A expressão
vira
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
.
Calcule a integral
transformando para coordenadas polares, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Uma das aplicações mais importantes da função exponencial é no cálculo de juros compostos. Suponha que
seja o capital inicial que uma pessoa investe, a uma taxa
de juros , ao longo do tempo
em anos. Estes juros poderiam ser compostos, por exemplo, mensalmente, semanalmente, diariamente, de hora em hora, etc. É possível mostrar que, se os juros fossem compostos continuamente, o capital ao final de
anos seria dado por
de juros
Se uma pessoa investe 2500 reais num fundo de investimentos onde a taxa é de 12 por cento, isto é
, quanto tempo levará para que ela tenha 10000 reais? E qual deveria ser a taxa (responda em linguagem percentual) de juros para que ela conseguisse 10000 reais em um ano? Considere
.
Calcule o volume entre o cone
e a esfera
.