Calcule o volume entre o cone e a esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está entre um cone dado por e uma esfera com equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas cilíndricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações que temos:
  • Cone:
    Podemos simplificar essa equação fatorando o 3 dentro da raiz:
  • Esfera:
Queremos encontrar a interseção entre o cone e a esfera para saber os limites de integração.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa mudança, as equações ficam:
  • Cone:
  • Esfera:

Passo 4

Vamos encontrar o ponto de interseção entre o cone e a esfera substituindo da equação do cone na da esfera:
Então, o raio máximo onde eles se encontram é .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites para a integração:
  • varia de a (toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a .
  • varia do cone até a esfera, ou seja, de até .

Passo 6

O volume pode ser calculado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o termo é o Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a :
Agora, temos:

Passo 8

Vamos separar a integral em duas partes:
Primeiro, resolvamos . Fazendo uma substituição , temos , então:
Avaliado de a :
Agora, para :
Avaliado de a :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:
Simplificando os termos dentro dos colchetes:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume entre o cone e a esfera é:

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