Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está entre um cone dado por e uma esfera com equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas cilíndricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações que temos:
Cone:
Podemos simplificar essa equação fatorando o 3 dentro da raiz:
Esfera:
Queremos encontrar a interseção entre o cone e a esfera para saber os limites de integração.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa mudança, as equações ficam:
Cone:
Esfera:
Passo 4
Vamos encontrar o ponto de interseção entre o cone e a esfera substituindo da equação do cone na da esfera:
Então, o raio máximo onde eles se encontram é .
Passo 5
Agora, vamos definir os limites para a integração:
varia de a (toda a volta ao redor do eixo z).
varia de a .
varia do cone até a esfera, ou seja, de até .
Passo 6
O volume pode ser calculado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o termo é o Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a :
Agora, temos:
Passo 8
Vamos separar a integral em duas partes:
Primeiro, resolvamos . Fazendo uma substituição , temos , então: