Determine o domínio da função f(x) = tan(x / 2) / (|cos(x + pi / 2)| - 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso envolve entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de a função não dá problema, como divisão por zero ou valores indefinidos da tangente. Vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas, valores absolutos e propriedades de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: . Para que a função seja definida, esse denominador não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Então, precisamos resolver a inequação:
Isso simplifica para:

Passo 3

Vamos lembrar que o valor absoluto de um cosseno, , é igual a 1 quando . Então, queremos encontrar os valores de para os quais:

Passo 4

Agora, vamos achar quando . Sabemos que:
  • quando , onde é inteiro.
  • quando , onde é inteiro.
Vamos resolver essas equações para :

Passo 5

Então, os valores de que tornam o denominador zero são:
onde é qualquer número inteiro.
Esses são os valores que não pertencem ao domínio da função.

Passo 6

Agora, vamos verificar a função no numerador. A tangente está definida para todos os reais exceto onde o cosseno é zero, ou seja, , o que implica .

Passo 7

Finalmente, juntando todas as restrições:
Onde é qualquer inteiro.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto os valores , e , onde é inteiro. Em notação matemática:

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