Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
. Isso envolve entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de
a função não dá problema, como divisão por zero ou valores indefinidos da tangente. Vamos precisar usar conhecimentos de funções trigonométricas, valores absolutos e propriedades de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função:
. Para que a função seja definida, esse denominador não pode ser igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Então, precisamos resolver a inequação:
Isso simplifica para:
Passo 3
Vamos lembrar que o valor absoluto de um cosseno,
, é igual a 1 quando
. Então, queremos encontrar os valores de
para os quais:
Passo 4
Agora, vamos achar quando
. Sabemos que:
-
quando , onde é inteiro. -
quando , onde é inteiro.
Vamos resolver essas equações para
:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Então, os valores de
que tornam o denominador zero são:
onde
é qualquer número inteiro.
Esses são os valores que não pertencem ao domínio da função.
Passo 6
Agora, vamos verificar a função
no numerador. A tangente está definida para todos os reais exceto onde o cosseno é zero, ou seja,
, o que implica
.
Passo 7
Finalmente, juntando todas as restrições:
Onde
é qualquer inteiro.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto os valores
,
e
, onde
é inteiro. Em notação matemática: