(Aplicações da Lei de Gauss) Um cilindro oco, muito longo e carregado, possui um raio interno a igual a , um raio externo igual a , e uma densidade de carga uniforme igual a . Determine o campo elétrico para todos os raios: , e .
Resposta: para para a <= r <= b, e E=(3790 N cdot m / C)rG para b <= r.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. No caso, temos um cilindro oco que é muito longo e está carregado. As medidas são:
Raio interno
Raio externo
Densidade de carga uniforme
A gente precisa encontrar o campo elétrico em três situações diferentes de raio :
(dentro da parte oca)
(dentro do material do cilindro)
(fora do cilindro)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
Passo 2
Primeiro, para PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 , ou seja, dentro da parte oca do cilindro. Vamos imaginar uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, mas com raio PhiE = 0 Rightarrow E = 0 menor ou igual a .
Teoria: A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo :
Aplicação: Dentro da parte oca, não há carga (), então:
Passo 3
Agora, para Qenc = rho cdot Volume = rho cdot pi (r^2 - a^2) L , ou seja, dentro do material do cilindro. Vamos considerar novamente uma superfície gaussiana cilíndrica com raio PhiE = E cdot 2pi r L nessa faixa.
Teoria: O campo elétrico E cdot 2pi r L = rho pi (r^2 - a^2) Lvarepsilon0 devido a uma distribuição de carga cilíndrica simétrica depende apenas da distância E = rho (r^2 - a^2)2 varepsilon0 r do eixo.
Cálculo da carga encerrada :
onde é o comprimento do cilindro.
Fluxo elétrico :
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 4
Por fim, para Qtotal = rho cdot pi (b^2 - a^2) L , ou seja, fora do cilindro completo. A gente considera uma superfície gaussiana cilíndrica com raio PhiE = E cdot 2pi r L maior ou igual a E cdot 2pi r L = rho pi (b^2 - a^2) Lvarepsilon0 .
Cálculo da carga total E = rho (b^2 - a^2)2 varepsilon0 r :
Fluxo elétrico :
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
O campo elétrico E = 0 & para r <= a, (2,37 times 10^6 , N/C cdot m)(r^2 - a^2)r & para a <= r <= b, 3790 , N cdot m/Cr & para r >= b é dado por: