(Aplicações da Lei de Gauss) Um cilindro oco, muito longo e carregado, possui um raio interno a igual a 3,00 cm, um raio externo b igual a 5,00 cm, e uma densidade de carga uniforme rho igual a +42,0 mu C / m^3. Determine o campo elétrico para todos os raios: r <= a, a <= r <= b, e r >= b.
Resposta: E=0 para r <= a, E=(2,37 times 10^6 N / C cdot m)(rG^2-a^2)rG para a <= r <= b, e E=(3790 N cdot m / C)rG para b <= r.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. No caso, temos um cilindro oco que é muito longo e está carregado. As medidas são:
  • Raio interno
  • Raio externo
  • Densidade de carga uniforme
A gente precisa encontrar o campo elétrico em três situações diferentes de raio :
  1. (dentro da parte oca)
  2. (dentro do material do cilindro)
  3. (fora do cilindro)
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, para PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 , ou seja, dentro da parte oca do cilindro. Vamos imaginar uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o cilindro carregado, mas com raio PhiE = 0 Rightarrow E = 0 menor ou igual a .
Teoria: A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo :
Aplicação: Dentro da parte oca, não há carga ( ), então:

Passo 3

Agora, para Qenc = rho cdot Volume = rho cdot pi (r^2 - a^2) L , ou seja, dentro do material do cilindro. Vamos considerar novamente uma superfície gaussiana cilíndrica com raio PhiE = E cdot 2pi r L nessa faixa.
Teoria: O campo elétrico E cdot 2pi r L = rho pi (r^2 - a^2) Lvarepsilon0 devido a uma distribuição de carga cilíndrica simétrica depende apenas da distância E = rho (r^2 - a^2)2 varepsilon0 r do eixo.
Cálculo da carga encerrada :
onde é o comprimento do cilindro.
Fluxo elétrico :
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 4

Por fim, para Qtotal = rho cdot pi (b^2 - a^2) L , ou seja, fora do cilindro completo. A gente considera uma superfície gaussiana cilíndrica com raio PhiE = E cdot 2pi r L maior ou igual a E cdot 2pi r L = rho pi (b^2 - a^2) Lvarepsilon0 .
Cálculo da carga total E = rho (b^2 - a^2)2 varepsilon0 r :
Fluxo elétrico :
Aplicando a Lei de Gauss:

Resposta

O campo elétrico E = 0 & para r <= a, (2,37 times 10^6 , N/C cdot m)(r^2 - a^2)r & para a <= r <= b, 3790 , N cdot m/Cr & para r >= b é dado por:

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