Nas aplicações lineares dadas abaixo, determine o N(T) e a Im(T). Em seguida, responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora. Quais as aplicações lineares que são invertíveis, isto é, são isomorfismos? Nestes casos, determine T^-1.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-3 y, 3 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão pede para a gente encontrar o Núcleo de (ou ) e a Imagem de (ou ). Depois, precisamos verificar se essa transformação é injetora (cada entrada tem uma saída única), sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada) e se ela é invertível, ou seja, se é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear e entender os conceitos de injeção, sobrejeção e isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de T(x, y) = (x - 3y, 3x + y) = (0, 0) , que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
x - 3y = 0 3x + y = 0
Da primeira equação, temos 3(3y) + y = 0 implies 9y + y = 0 implies 10y = 0 implies y = 0 . Substituindo na segunda equação:
E então, .

Passo 4

Portanto, o Núcleo de N(T) = (0, 0) é apenas o vetor zero:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Como nossa transformação é de para e o Núcleo contém apenas o vetor zero, isso indica que a transformação pode ser injetora e possivelmente sobrejetora também.

Passo 6

Para confirmar, vamos verificar o determinante da matriz associada a A = 1 & -3 3 & 1 . A matriz de det(A) = (1)(1) - (-3)(3) = 1 + 9 = 10 neq 0 é:
O determinante de é:

Passo 7

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso significa que é uma transformação linear bijetora, ou seja, é tanto injetora quanto sobrejetora, e, portanto, é um isomorfismo.

Passo 8

Como A^-1 = 1det(A) 1 & 3 -3 & 1 = 110 1 & 3 -3 & 1 é invertível, podemos encontrar a matriz inversa T^-1(u, v) = ( 110u + 310v, -310u + 110v ) e, assim, a transformação inversa . A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

O Núcleo de T^-1(u, v) = ( 110u + 310v, -310u + 110v ) é e a Imagem de é . A transformação linear é injetora e sobrejetora, ou seja, é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por:

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