Nas aplicações lineares dadas abaixo, determine o
e a
. Em seguida, responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora. Quais as aplicações lineares que são invertíveis, isto é, são isomorfismos? Nestes casos, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão pede para a gente encontrar o Núcleo de
(ou
) e a Imagem de
(ou
). Depois, precisamos verificar se essa transformação é injetora (cada entrada tem uma saída única), sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada) e se ela é invertível, ou seja, se é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear e entender os conceitos de injeção, sobrejeção e isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
E então,
.
Passo 4
Portanto, o Núcleo de
é apenas o vetor zero:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Como nossa transformação é de
para
e o Núcleo contém apenas o vetor zero, isso indica que a transformação pode ser injetora e possivelmente sobrejetora também.
Passo 6
Para confirmar, vamos verificar o determinante da matriz associada a
. A matriz de
é:
O determinante de
é:
Passo 7
Como o determinante é diferente de zero, a matriz
é invertível. Isso significa que
é uma transformação linear bijetora, ou seja, é tanto injetora quanto sobrejetora, e, portanto, é um isomorfismo.
Passo 8
Como
é invertível, podemos encontrar a matriz inversa
e, assim, a transformação inversa
. A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Portanto, a transformação inversa
é:
Resposta
O Núcleo de
é
e a Imagem de
é
. A transformação linear
é injetora e sobrejetora, ou seja, é um isomorfismo. A transformação inversa
é dada por: