e
é uma base de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada com álgebra linear, mais especificamente com subespaços vetoriais e suas interseções e somas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como interseção de subespaços, soma de subespaços, dimensão de espaços vetoriais e base de um espaço. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a interseção de dois subespaços
e
. A interseção
consiste em todos os vetores que pertencem tanto a
quanto a
. No exercício, foi dado que:
Isso significa que esses três vetores são comuns aos dois subespaços.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a soma de dois subespaços
. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e outro de
. A dimensão da soma,
, nos dá uma ideia de quão “grande” é essa soma em termos de vetores independentes.
No exercício, foi informado que:
Isso nos diz que existem quatro vetores linearmente independentes na soma dos dois subespaços.
Passo 4
Também foi dada uma base de
:
Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Portanto, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Agora, precisamos justificar as afirmações fornecidas no exercício. Para isso, vamos verificar a linearidade e a independência dos vetores dados na interseção e na base de
.
Primeiro, notamos que os vetores na interseção
devem pertencer a ambos os subespaços. Como a dimensão da soma
é 4 e sabendo que a dimensão de
é 2 (já que a base de
tem 2 vetores), podemos usar a fórmula da dimensão para a soma de subespaços:
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para
:
Isso confirma que a interseção
tem exatamente os vetores fornecidos e que a soma dos espaços tem dimensão 4, validando as afirmações iniciais.
Resposta
As afirmações sobre
e
estão corretas, e a base fornecida para
é adequada, de acordo com os conceitos de interseção, soma de subespaços e dimensão em álgebra linear.