W1 cap W2=[(1,-1,-2,0,0),(2,1,-1,0,0),(1,2,1,0,0)], dim(W1+W2)=4
e (1,2,1,0,0),(0,1,1,0,0) é uma base de W1. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada com álgebra linear, mais especificamente com subespaços vetoriais e suas interseções e somas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como interseção de subespaços, soma de subespaços, dimensão de espaços vetoriais e base de um espaço. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a interseção de dois subespaços W1 cap W2 = (1,-1,-2,0,0), (2,1,-1,0,0), (1,2,1,0,0) e . A interseção consiste em todos os vetores que pertencem tanto a quanto a . No exercício, foi dado que:
Isso significa que esses três vetores são comuns aos dois subespaços.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a soma de dois subespaços dim(W1 + W2) = 4 . A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e outro de . A dimensão da soma, , nos dá uma ideia de quão “grande” é essa soma em termos de vetores independentes.
No exercício, foi informado que:
Isso nos diz que existem quatro vetores linearmente independentes na soma dos dois subespaços.

Passo 4

Também foi dada uma base de (1,2,1,0,0), (0,1,1,0,0) :
Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 5

Agora, precisamos justificar as afirmações fornecidas no exercício. Para isso, vamos verificar a linearidade e a independência dos vetores dados na interseção e na base de dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) .
Primeiro, notamos que os vetores na interseção 4 = 2 + dim(W2) - 3 devem pertencer a ambos os subespaços. Como a dimensão da soma 4 = 2 + dim(W2) - 3 4 = dim(W2) - 1 dim(W2) = 5 é 4 e sabendo que a dimensão de é 2 (já que a base de tem 2 vetores), podemos usar a fórmula da dimensão para a soma de subespaços:
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para :
Isso confirma que a interseção tem exatamente os vetores fornecidos e que a soma dos espaços tem dimensão 4, validando as afirmações iniciais.

Resposta

As afirmações sobre e estão corretas, e a base fornecida para é adequada, de acordo com os conceitos de interseção, soma de subespaços e dimensão em álgebra linear.

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