Se uma matriz
quadrada de ordem
é tal que
é a matriz nula, então
é uma matriz involutória. Isso é falso ou verdadeiro? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
tal que
é a matriz nula. A questão está perguntando se isso implica que
é uma matriz involutória. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre multiplicação de matrizes e o que significa uma matriz ser involutória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a matriz identidade de ordem
. Vamos multiplicar essas duas matrizes:
Simplificando isso:
Então, temos:
Passo 3
Se
, então podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Isso significa que ao multiplicar
por si mesma, você obtém a matriz identidade.
Passo 4
Uma matriz
que satisfaz
é conhecida como uma matriz involutória. Isso porque, aplicando a matriz duas vezes, você retorna à identidade, ou seja, a operação “involutória” retorna ao ponto de partida.
Resposta
Verdadeiro. A condição
implica que
, o que significa que
é uma matriz involutória.