Se uma matriz A quadrada de ordem N é tal que (IN-A)(IN+A) é a matriz nula, então A é uma matriz involutória. Isso é falso ou verdadeiro? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma matriz quadrada de ordem tal que é a matriz nula. A questão está perguntando se isso implica que é uma matriz involutória. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre multiplicação de matrizes e o que significa uma matriz ser involutória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (IN - A)(IN + A) = IN cdot IN + IN cdot A - A cdot IN - A cdot A . Aqui, = IN + A - A - A^2 = IN - A^2 é a matriz identidade de ordem IN - A^2 = 0 . Vamos multiplicar essas duas matrizes:
Simplificando isso:
Então, temos:

Passo 3

Se A^2 = IN , então podemos rearranjar essa equação para encontrar :
Isso significa que ao multiplicar por si mesma, você obtém a matriz identidade.

Passo 4

Uma matriz que satisfaz é conhecida como uma matriz involutória. Isso porque, aplicando a matriz duas vezes, você retorna à identidade, ou seja, a operação “involutória” retorna ao ponto de partida.

Resposta

Verdadeiro. A condição implica que , o que significa que é uma matriz involutória.

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