Considere A=[ai j] uma matriz de ordem m times n e B=[bi j] uma matriz de ordem n times p. Sendo C=A B, justifique porque cada elemento ci j da matriz C é dado por ci j=sumk=1^n ai k bk j, para cada 1 <= i <= m e 1 <= j <= p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre multiplicação de matrizes. A gente tem duas matrizes, de tamanho e de tamanho . Queremos entender por que, quando multiplicamos por para formar a matriz , cada elemento da matriz resultante é calculado somando o produto dos elementos correspondentes das linhas de com as colunas de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Para multiplicar por , o número de colunas de (que é ) precisa ser igual ao número de linhas de (também ), o que está garantido aqui.

Passo 3

Agora, para achar um elemento específico na matriz , a gente olha para a -ésima linha de e para a -ésima coluna de . A multiplicação de matrizes envolve multiplicar cada elemento da linha de pelo elemento correspondente da coluna de e depois somar todos esses produtos.

Passo 4

Matematicamente, isso fica assim:
cij = ai1b1j + ai2b2j + dots + ainbnj = sumk=1^n aik bkj
Isso mostra que cada é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de e da coluna de .

Resposta

Cada elemento cij = sumk=1^n aik bkj da matriz é dado por:

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