Mostre que as transformações dadas abaixo são lineares e determine seu
e a sua
. Quais das transformações dadas são injetoras? Quais são sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a transformação
definida por
é linear. Além disso, precisamos encontrar o núcleo
e a imagem
dessa transformação. Também vamos ver se ela é injetora (sem “colisões” no mapeamento) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer polinômios
e
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas condições para nossa transformação
.
Passo 3
Verificação da adição:
Seja
e
dois polinômios em
.
Então, a condição da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificação da multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
um polinômio em
.
Assim, a condição da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Como as duas condições de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
tais que
.
Vamos resolver essa equação diferencial.
Passo 7
A equação
pode ser reescrita como:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante real.
Passo 8
Como estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3,
é um polinômio válido em
. Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios da forma
:
Passo 9
Agora, vamos determinar a imagem
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum polinômio em
.
Como
é uma transformação linear e o espaço de saída é
, a dimensão da imagem mais a dimensão do núcleo deve ser igual à dimensão do espaço de partida, que é 4 (grau máximo 3 + 1).
Sabemos que
, pois
é gerado por
. Então:
Portanto, a imagem de
é um subespaço de
de dimensão 3. Para termos uma descrição mais explícita, podemos notar que qualquer polinômio na imagem não pode ter termos que tornem impossível a expressão
para algum
.
Passo 10
Agora, vamos verificar se
é injetora e sobrejetora.
-
Injetora: Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo
contém apenas o vetor zero. No nosso caso, , que contém infinitos vetores além do zero. Portanto, não é injetora. -
Sobrejetora: Uma transformação linear de um espaço de dimensão 4 para outro de dimensão 4 é sobrejetora se a dimensão da imagem for igual à dimensão do espaço de chegada. Aqui,
, que é menor que 4. Logo, não é sobrejetora.
Resposta
A transformação
é linear. Seu núcleo é
e sua imagem é um subespaço de dimensão 3 em
. Além disso,
não é injetora nem sobrejetora.