Mostre que as transformações dadas abaixo são lineares e determine seu N(T) e a sua Im(T). Quais das transformações dadas são injetoras? Quais são sobrejetora?
T: P3(x) P3(x) ; T(p(x))=p(x)-x p^prime(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a transformação definida por é linear. Além disso, precisamos encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação. Também vamos ver se ela é injetora (sem “colisões” no mapeamento) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer polinômios e e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas condições para nossa transformação .

Passo 3

Verificação da adição:
Seja T(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) - x cdot (p'(x) + q'(x)) = (p(x) - x p'(x)) + (q(x) - x q'(x)) = T(p(x)) + T(q(x)) e dois polinômios em .
Então, a condição da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificação da multiplicação por escalar:
Seja T(c cdot p(x)) = c cdot p(x) - x cdot (c cdot p'(x)) = c cdot (p(x) - x p'(x)) = c cdot T(p(x)) um escalar e um polinômio em .
Assim, a condição da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Como as duas condições de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo T(p(x)) = p(x) - x p'(x) = 0 implies p(x) = x p'(x) . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios tais que .
Vamos resolver essa equação diferencial.

Passo 7

A equação p'(x)p(x) = 1x pode ser reescrita como:
integral p'(x)p(x) dx = integral 1x dx implies ln|p(x)| = ln|x| + C
Integrando os dois lados:
p(x) = Kx
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante real.

Passo 8

Como estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3, N(T) = Kx mid K in R é um polinômio válido em . Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios da forma :

Passo 9

Agora, vamos determinar a imagem dim(Im(T)) = 4 - 1 = 3 . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a algum polinômio em .
Como é uma transformação linear e o espaço de saída é , a dimensão da imagem mais a dimensão do núcleo deve ser igual à dimensão do espaço de partida, que é 4 (grau máximo 3 + 1).
Sabemos que , pois é gerado por . Então:
Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 3. Para termos uma descrição mais explícita, podemos notar que qualquer polinômio na imagem não pode ter termos que tornem impossível a expressão para algum .

Passo 10

Agora, vamos verificar se é injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso, , que contém infinitos vetores além do zero. Portanto, não é injetora.
  • Sobrejetora: Uma transformação linear de um espaço de dimensão 4 para outro de dimensão 4 é sobrejetora se a dimensão da imagem for igual à dimensão do espaço de chegada. Aqui, , que é menor que 4. Logo, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação é linear. Seu núcleo é e sua imagem é um subespaço de dimensão 3 em . Além disso, não é injetora nem sobrejetora.

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