Aplicações:
Uma partícula de massa
está em repouso na origem sobre o eixo
.
uma força age sobre ela num intervalo de tempo muito pequeno onde o impulso da força é constante de magnitude
. Determine a posição
e interprete o resultado.
Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por
Resp.
.
Uma partícula de massa
Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa
que está parada na origem do eixo
. No instante
, uma força age sobre ela por um tempinho muito curto, com um impulso constante de magnitude
. Nosso objetivo é descobrir onde a partícula estará, ou seja, encontrar a posição
dela ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton e entender um pouco sobre impulsos e funções delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre uma partícula é igual à massa
dela multiplicada pela aceleração
:
Na nossa questão, a força que age sobre a partícula é um impulso representado pela função delta de Dirac
, multiplicada pela magnitude
. Então, a equação fica:
Também temos as condições iniciais: a posição e a velocidade da partícula são zero no tempo inicial
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A função delta de Dirac
é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela é infinitamente alta de modo que sua integral é 1. Isso significa que a força só age no instante
.
Para resolver a EDO, integramos ambos os lados em relação ao tempo:
Primeira integração:
Aqui,
é a função de Heaviside, que é 0 para
e 1 para
. Como a velocidade inicial
, temos
:
Segunda integração:
A integral da função de Heaviside é
, e como a posição inicial
, a constante
. Assim, temos:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
Isso significa que antes de
, a partícula está parada na origem, e após
, ela começa a se mover com aceleração constante proporcional ao impulso
aplicado.
Exercícios relacionados
Sejam
e
constantes não nulas dadas. Verifique que
Use isso para calcular a seguinte integral
Calcule:
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
.
- Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).
Usando que
para
, calcule: