Aplicações:
Uma partícula de massa está em repouso na origem sobre o eixo . uma força age sobre ela num intervalo de tempo muito pequeno onde o impulso da força é constante de magnitude . Determine a posição e interprete o resultado.
Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por
Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa que está parada na origem do eixo . No instante , uma força age sobre ela por um tempinho muito curto, com um impulso constante de magnitude . Nosso objetivo é descobrir onde a partícula estará, ou seja, encontrar a posição dela ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton e entender um pouco sobre impulsos e funções delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela multiplicada pela aceleração :
Na nossa questão, a força que age sobre a partícula é um impulso representado pela função delta de Dirac , multiplicada pela magnitude . Então, a equação fica:
Também temos as condições iniciais: a posição e a velocidade da partícula são zero no tempo inicial :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A função delta de Dirac é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela é infinitamente alta de modo que sua integral é 1. Isso significa que a força só age no instante .
Para resolver a EDO, integramos ambos os lados em relação ao tempo:
Primeira integração:
Aqui, é a função de Heaviside, que é 0 para e 1 para . Como a velocidade inicial , temos :
Segunda integração:
A integral da função de Heaviside é , e como a posição inicial , a constante . Assim, temos:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
Isso significa que antes de , a partícula está parada na origem, e após , ela começa a se mover com aceleração constante proporcional ao impulso aplicado.

Exercícios relacionados

Sejam e constantes não nulas dadas. Verifique que
Use isso para calcular a seguinte integral
Calcule:
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
.
  • Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).
Usando que para , calcule: