Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
.
  • Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).

Passo 1

Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) dado por:
Neste exercício, utilizaremos o conteúdo de sistemas de EDOs lineares homogêneos com coeficientes constantes. Para resolver, vamos reduzir o sistema a uma única EDO de terceira ordem e então aplicar a Transformada de Laplace para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, observamos o sistema de EDOs:
Nosso objetivo é combinar essas equações para obter uma única EDO de terceira ordem para uma das variáveis.

Passo 3

Vamos derivar a equação (1) em relação a :
Substituindo da equação (1) e da equação (3):
Agora, temos:

Passo 4

Da equação (2):
Vamos derivar a equação (2) em relação a :
Substituindo da equação (2) e da equação (3):

Passo 5

Agora, temos duas equações:
Vamos substituir e em termos de :
Da equação (1):
Substituindo na equação (4):

Passo 6

Agora, substituímos na equação (5):
Usando e :
Calculando as derivadas:

Passo 7

Reorganizando os termos:
Essa é uma EDO de quarta ordem, mas notamos que houve um erro na redução. Para simplificar, vamos adotar outro método.

Passo 8

Para resolver o sistema, vamos supor soluções da forma para cada variável. Substituindo na EDOs:
Essa abordagem não está funcionando bem, então vamos retornar à redução inicial.

Passo 9

Retornando ao passo 5 e corrigindo:
Agora, substituindo e na equação (3):
Isso confirma a consistência, mas não avança na solução. Portanto, adotamos a Busca da Equação Característica.

Passo 10

Assumimos soluções do tipo . Substituindo nas EDOs:
Escrevendo em forma matricial:

[


]
Para soluções não triviais, o determinante da matriz deve ser zero:

Passo 11

Calculando o determinante:
Calculando os menores:

Passo 12

Igualando a zero:
As raízes são:

Passo 13

As soluções para são:

Passo 14

A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada :
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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Aplicações:
Uma partícula de massa está em repouso na origem sobre o eixo . uma força age sobre ela num intervalo de tempo muito pequeno onde o impulso da força é constante de magnitude . Determine a posição e interprete o resultado.
Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por
Resp. .
Sejam e constantes não nulas dadas. Verifique que
Use isso para calcular a seguinte integral
Usando que para , calcule:
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
  • Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).