Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).
Passo 1
Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) dado por:
Neste exercício, utilizaremos o conteúdo de sistemas de EDOs lineares homogêneos com coeficientes constantes. Para resolver, vamos reduzir o sistema a uma única EDO de terceira ordem e então aplicar a Transformada de Laplace para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, observamos o sistema de EDOs:
Nosso objetivo é combinar essas equações para obter uma única EDO de terceira ordem para uma das variáveis.
Passo 3
Vamos derivar a equação (1) em relação a :
Substituindo da equação (1) e da equação (3):
Agora, temos:
Passo 4
Da equação (2):
Vamos derivar a equação (2) em relação a :
Substituindo da equação (2) e da equação (3):
Passo 5
Agora, temos duas equações:
Vamos substituir e em termos de :
Da equação (1):
Substituindo na equação (4):
Passo 6
Agora, substituímos na equação (5):
Usando e :
Calculando as derivadas:
Passo 7
Reorganizando os termos:
Essa é uma EDO de quarta ordem, mas notamos que houve um erro na redução. Para simplificar, vamos adotar outro método.
Passo 8
Para resolver o sistema, vamos supor soluções da forma para cada variável. Substituindo na EDOs:
Essa abordagem não está funcionando bem, então vamos retornar à redução inicial.
Passo 9
Retornando ao passo 5 e corrigindo:
Agora, substituindo e na equação (3):
Isso confirma a consistência, mas não avança na solução. Portanto, adotamos a Busca da Equação Característica.
Passo 10
Assumimos soluções do tipo . Substituindo nas EDOs:
Escrevendo em forma matricial:
[
]
Para soluções não triviais, o determinante da matriz deve ser zero:
Passo 11
Calculando o determinante:
Calculando os menores:
Passo 12
Igualando a zero:
As raízes são:
Passo 13
As soluções para são:
Passo 14
A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada :
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.