Usando que lim x 0 a^x-1x=ln a para a>0, calcule:
lim x 0 e^-x-e^-2 xx

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites e o uso da função exponencial. Para resolver, vamos utilizar a propriedade dada: , onde . Precisaremos aplicar essa fórmula para as duas exponenciais presentes no numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as exponenciais e de uma forma que se encaixe na fórmula que temos. Sabemos que e . Então, podemos identificar e para as duas partes do numerador.

Passo 3

Aplicando a propriedade limx 0 e^-x - 1x = ln(e^-1) = -1 , temos:
limx 0 e^-2x - 1x = ln(e^-2) = -2

Passo 4

Agora, vamos reestruturar o limite original usando esses resultados. O limite pode ser escrito como a diferença dos dois limites que acabamos de calcular:
limx 0 e^-x - e^-2xx = limx 0 e^-x - 1x - limx 0 e^-2x - 1x

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
limx 0 e^-x - e^-2xx = (-1) - (-2) = -1 + 2 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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