Sejam
e
constantes não nulas dadas. Verifique que
Use isso para calcular a seguinte integral
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral que envolve uma fração onde o numerador é uma combinação linear de
e uma constante, e o denominador é
. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Pra resolver, vamos precisar lembrar como integrar frações do tipo
e usar essa ideia pra calcular a integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a fórmula que foi dada. A integral que temos é:
Queremos mostrar que isso é igual a:
Para isso, vamos separar a fração em duas partes:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Primeiro, a integral de
:
Sabemos que a derivada de
é
. Então, a integral fica:
Então, o primeiro termo integrado é:
Passo 4
Agora, a integral de
:
Essa é uma integral clássica que resulta na função arco-tangente:
Passo 5
Juntando os dois resultados, a integral completa é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar essa fórmula para calcular a integral dada:
Primeiro, identificamos que:
-
-
- O denominador é
, que pode ser reescrito como completando o quadrado.
Passo 7
Fazendo a substituição
, então
. A integral fica:
Agora, aplicamos a fórmula verificada.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Com
e
:
Passo 9
Substituindo de volta
:
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Resposta
A integral é igual a: