Sejam m e n constantes não nulas dadas. Verifique que
integral m u+n1+u^2 d u=m2 ln (1+u^2)+n tan ^-1(1+u^2)+n tan ^-1(u)+k
Use isso para calcular a seguinte integral
integral 2 x+1x^2+4 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral que envolve uma fração onde o numerador é uma combinação linear de e uma constante, e o denominador é . O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Pra resolver, vamos precisar lembrar como integrar frações do tipo e usar essa ideia pra calcular a integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a fórmula que foi dada. A integral que temos é:
integral m u + n1 + u^2 , du
Queremos mostrar que isso é igual a:
m2 ln (1 + u^2) + n tan^-1(u) + k
Para isso, vamos separar a fração em duas partes:
m u + n1 + u^2 = m cdot u1 + u^2 + n cdot 11 + u^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Primeiro, a integral de m cdot 12 ln(1 + u^2) :
Sabemos que a derivada de m2 ln(1 + u^2) é . Então, a integral fica:
Então, o primeiro termo integrado é:

Passo 4

Agora, a integral de n tan^-1(u) :
Essa é uma integral clássica que resulta na função arco-tangente:

Passo 5

Juntando os dois resultados, a integral completa é:
m2 ln(1 + u^2) + n tan^-1(u) + k
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular a integral dada:
integral 2x + 1x^2 + 4x + 5 , dx
Primeiro, identificamos que:
  • O denominador é , que pode ser reescrito como completando o quadrado.

Passo 7

Fazendo a substituição integral 2(u - 2) + 1u^2 + 1 , du = integral 2u - 4 + 1u^2 + 1 , du = integral 2u - 3u^2 + 1 , du , então . A integral fica:
Agora, aplicamos a fórmula verificada.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral m u + n1 + u^2 , du = m2 ln(1 + u^2) + n tan^-1(u) + k
Com 22 ln(1 + u^2) + (-3) tan^-1(u) + k = ln(1 + u^2) - 3 tan^-1(u) + k e :

Passo 9

Substituindo de volta ln(1 + (x + 2)^2) - 3 tan^-1(x + 2) + k :
1 + (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 + 4x + 5
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:

Resposta

A integral é igual a:
ln(x^2 + 4x + 5) - 3 tan^-1(x + 2) + k

Exercícios relacionados