Sejam e constantes não nulas dadas. Verifique que Use isso para calcular a seguinte integral

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral que envolve uma fração onde o numerador é uma combinação linear de e uma constante, e o denominador é . O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Pra resolver, vamos precisar lembrar como integrar frações do tipo e usar essa ideia pra calcular a integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a fórmula que foi dada. A integral que temos é: Queremos mostrar que isso é igual a: Para isso, vamos separar a fração em duas partes: Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Primeiro, a integral de : Sabemos que a derivada de é . Então, a integral fica: Então, o primeiro termo integrado é:

Passo 4

Agora, a integral de : Essa é uma integral clássica que resulta na função arco-tangente:

Passo 5

Juntando os dois resultados, a integral completa é: Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos usar essa fórmula para calcular a integral dada: Primeiro, identificamos que: - - - O denominador é , que pode ser reescrito como completando o quadrado.

Passo 7

Fazendo a substituição , então . A integral fica: Agora, aplicamos a fórmula verificada.

Passo 8

Aplicando a fórmula: Com e :

Passo 9

Substituindo de volta : Simplificando a expressão dentro do logaritmo:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule:
Considere a função: $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x-1} & \text { se } x<1 \ \alpha & \text { se } x=1 \ \frac{\beta\left(x^{2}-1\right)}{x-1} & \text { se } 1
Aplicações: Uma partícula de massa está em repouso na origem sobre o eixo . uma força age sobre ela num intervalo de tempo muito pequeno onde o impulso da força é constante de magnitude . Determine a posição e interprete o resultado. Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por Resp. .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs: . - Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).