Sejam e constantes não nulas dadas. Verifique que
Use isso para calcular a seguinte integral
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral que envolve uma fração onde o numerador é uma combinação linear de e uma constante, e o denominador é . O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Pra resolver, vamos precisar lembrar como integrar frações do tipo e usar essa ideia pra calcular a integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a fórmula que foi dada. A integral que temos é:
Queremos mostrar que isso é igual a:
Para isso, vamos separar a fração em duas partes:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Primeiro, a integral de :
Sabemos que a derivada de é . Então, a integral fica:
Então, o primeiro termo integrado é:
Passo 4
Agora, a integral de :
Essa é uma integral clássica que resulta na função arco-tangente:
Passo 5
Juntando os dois resultados, a integral completa é:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar essa fórmula para calcular a integral dada:
Primeiro, identificamos que:
-
-
- O denominador é , que pode ser reescrito como completando o quadrado.
Passo 7
Fazendo a substituição , então . A integral fica:
Agora, aplicamos a fórmula verificada.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Com e :
Passo 9
Substituindo de volta :
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule:
Considere a função:
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{x-1} & \text { se } x<1 \ \alpha & \text { se } x=1 \ \frac{\beta\left(x^{2}-1\right)}{x-1} & \text { se } 1
Aplicações:
Uma partícula de massa está em repouso na origem sobre o eixo . uma força age sobre ela num intervalo de tempo muito pequeno onde o impulso da força é constante de magnitude . Determine a posição e interprete o resultado.
Dica: Pela segunda lei de Newton a EDO do problema é dada por
Resp. .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
.
- Dica para 17 e 18: Reduzir a uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 3 e resolvê-la por meio da transformada de Laplace (em função de 3 constantes).