Calcule:
lim x 0^+ arctan (ln x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite lim x 0^+ arctan (ln x). Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites de funções compostas. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções logaritmo natural ( ln x) e a função arco-tangente ( arctan) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com ln x quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+). A função logaritmo natural, ln x, tende a -infty quando x se aproxima de 0. Isso significa que ln x fica cada vez mais negativa à medida que x fica mais próximo de zero.

Passo 3

Agora, precisamos entender o comportamento de arctan(y) quando y tende a -infty. A função arco-tangente tem um limite horizontal quando seu argumento vai para -infty. Especificamente, arctan(y) se aproxima de -pi2 conforme y tende a -infty.

Resposta

Portanto, lim x 0^+ arctan (ln x) = -pi2.

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