Das aplicações a seguir, algumas são homomorfismos do grupo multiplicativo . Descubra quais e determine o núcleo de cada uma.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre homomorfismos no grupo multiplicativo dos números complexos não nulos, que é representado por . A gente precisa descobrir se a aplicação é um homomorfismo e, se for, determinar o núcleo dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, é uma função entre dois grupos que respeita a operação do grupo. No caso, estamos trabalhando com o grupo multiplicativo , onde a operação é a multiplicação de números complexos.
Então, para a função ser um homomorfismo, ela precisa satisfazer a seguinte condição:
Vamos verificar isso.
Passo 3
Vamos calcular :
Sabemos que o conjugado de um produto é igual ao produto dos conjugados:
z1 cdot z2 = z1 cdot z2
Então:
f(z1 cdot z2) = z1 cdot z2 = f(z1) cdot f(z2)
Isso mostra que a função f respeita a operação de multiplicação, ou seja, f é um homomorfismo.
Passo 4
Agora, vamos determinar o núcleo desse homomorfismo. O núcleo de uma função de grupo é o conjunto de todos os elementos que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada. No caso, o grupo de chegada também é C^*, onde o elemento neutro é 1.
Então, queremos encontrar todos os z in C^* tais que:
f(z) = z = 1
Passo 5
Para que z = 1, o número complexo z deve ser igual ao seu próprio conjugado e também igual a 1. Isso só acontece quando z = 1.
Portanto, o núcleo de f é o conjunto que contém apenas o número 1.
Resposta
Sim, f(z) = z é um homomorfismo de C^* e o núcleo de f é 1.