Calcule sen x e cos x, sabendo que 3 cdot cos x+sen x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular sin x e cos x sabendo que 3 cdot cos x + sin x = -1. Essa questão tá ligada à trigonometria, especificamente às relações entre seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar usar a identidade trigonométrica básica sin^2 x + cos^2 x = 1 e resolver um sistema de equações para encontrar os valores de sin x e cos x.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a equação que foi dada: 3 cdot cos x + sin x = -1. A ideia aqui é expressar uma das funções trigonométricas em termos da outra. Vamos isolar o sin x:
sin x = -1 - 3 cdot cos x

Passo 3

Agora que temos sin x em função de cos x, vamos usar a identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1 para substituir sin x:
(-1 - 3 cdot cos x)^2 + cos^2 x = 1

Passo 4

Vamos expandir o quadrado e simplificar a equação:
1 + 6 cdot cos x + 9 cdot cos^2 x + cos^2 x = 1
10 cdot cos^2 x + 6 cdot cos x = 0

Passo 5

Fatorando a equação:
cos x (10 cdot cos x + 6) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. cos x = 0
  2. 10 cdot cos x + 6 = 0 Rightarrow cos x = -dfrac610 = -dfrac35

Passo 6

Vamos encontrar sin x para cada caso:
  1. Quando cos x = 0:
sin x = -1 - 3 cdot 0 = -1
Verificando com a identidade:
sin^2 x + cos^2 x = (-1)^2 + 0^2 = 1 (válido) á
  1. Quando cos x = -dfrac35:
sin x = -1 - 3 cdot (-dfrac35) = -1 + dfrac95 = dfrac45
Verificando com a identidade:
sin^2 x + cos^2 x = (dfrac45)^2 + (-dfrac35)^2 = dfrac1625 + dfrac925 = dfrac2525 = 1 (válido) á

Resposta

As soluções para sin x e cos x são:
boxed sin x = -1 cos x = 0 ou sin x = dfrac45 cos x = -dfrac35

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