Determine uma equação da elipse, com excentricidade e
e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade de
e cujos focos são os mesmos que os vértices da hipérbole dada pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as características das hipérboles e elipses, principalmente como determinar seus focos e a relação entre excentricidade, semieixos e a posição dos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para
e
.
Reagrupando os termos:
Fatorando os coeficientes de
e
:
Agora, completamos o quadrado para
e
:
- Para
: → - Para
: →
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por -144 para obter a forma padrão:
Passo 3
Agora que temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Podemos identificar os parâmetros:
-
→ -
→
Para uma hipérbole da forma
, os vértices estão localizados em
. Então, os vértices da hipérbole são:
Passo 4
Esses vértices da hipérbole serão os focos da elipse que precisamos encontrar. Agora, vamos lembrar que para a elipse, a relação entre os semieixos
e
, e a distância dos focos
é dada por:
onde
é a excentricidade.
Dado que
, temos:
Além disso, para uma elipse, a relação entre
,
e
é:
Passo 5
Sabemos que os focos da elipse são os pontos
e
. O centro da elipse, portanto, será o ponto médio entre esses dois focos:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 6
A distância entre os dois focos é
unidades ao longo do eixo
. Então, a distância de cada foco ao centro é
.
Agora, usando a relação
:
Passo 7
Com
e
, podemos encontrar
usando a relação:
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, e o centro
, podemos escrever a equação da elipse na forma padrão:
Substituindo os valores:
Passo 9
Simplificando, se necessário:
ou, em termos decimais, se preferir: