Determine uma equação da elipse, com excentricidade e =1 / 3 e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole H: 16 x^2-9 y^2-64 x-18 y+199=0.
(x-2)^2128+(y+1)^2144=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade de e cujos focos são os mesmos que os vértices da hipérbole dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as características das hipérboles e elipses, principalmente como determinar seus focos e a relação entre excentricidade, semieixos e a posição dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
16x^2 - 9y^2 - 64x - 18y + 199 = 0
Vamos completar o quadrado para 16x^2 - 64x - 9y^2 - 18y = -199 e 16(x^2 - 4x) - 9(y^2 + 2y) = -199 .
Reagrupando os termos:
16[(x - 2)^2 - 4] - 9[(y + 1)^2 - 1] = -199
Fatorando os coeficientes de 16(x - 2)^2 - 64 - 9(y + 1)^2 + 9 = -199 e 16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 - 55 = -199 :
16(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = -144
Agora, completamos o quadrado para (x - 2)^29 - (y + 1)^216 = 1 e :
  • Para :
  • Para :
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por -144 para obter a forma padrão:

Passo 3

Agora que temos a equação da hipérbole na forma padrão:
(x - 2)^29 - (y + 1)^216 = 1
Podemos identificar os parâmetros:
Para uma hipérbole da forma , os vértices estão localizados em . Então, os vértices da hipérbole são:

Passo 4

Esses vértices da hipérbole serão os focos da elipse que precisamos encontrar. Agora, vamos lembrar que para a elipse, a relação entre os semieixos c = e cdot a e c = 13 cdot a , e a distância dos focos c^2 = a^2 - b^2 é dada por:
onde é a excentricidade.
Dado que , temos:
Além disso, para uma elipse, a relação entre , e é:

Passo 5

Sabemos que os focos da elipse são os pontos h = 5 + (-1)2 = 2 e k = -1 + (-1)2 = -1 . O centro da elipse, portanto, será o ponto médio entre esses dois focos:
Então, o centro da elipse é .

Passo 6

A distância entre os dois focos é 3 = 13 cdot a unidades ao longo do eixo a = 9 . Então, a distância de cada foco ao centro é .
Agora, usando a relação :

Passo 7

Com c^2 = a^2 - b^2 e 9 = 81 - b^2 , podemos encontrar b^2 = 81 - 9 = 72 usando a relação:
b = raiz72 = 6raiz2

Passo 8

Agora que temos os valores de (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 e (x - 2)^281 + (y + 1)^272 = 1 , e o centro , podemos escrever a equação da elipse na forma padrão:
Substituindo os valores:

Passo 9

Simplificando, se necessário:
(x - 2)^281 + (y + 1)^272 = 1
ou, em termos decimais, se preferir:
(x - 2)^281 + (y + 1)^272 = 1

Resposta

(x-2)^281+(y+1)^272=1

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