Sejam v1, v2, ldots, vn vetores em um espaço vetorial V e T: V W um operador linear.
a) Se T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é linearmente independente em W então v1, v2, ldots, vn é linearmente independente em V.
b) Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item a) é falsa, isto é, se v1, v2, ldots, vn é linearmente independente em V então T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é linearmente independente em W.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e outro , com uma transformação linear . O exercício está dividido em duas partes:
a) Mostrar que se os vetores transformados são linearmente independentes em , então os vetores originais também são linearmente independentes em .
b) Apresentar um contraexemplo para provar que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira.
Pra resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e como as transformações lineares afetam isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que .
Agora, vamos focar na parte a) do exercício.

Passo 3

Queremos provar que se T(a1v1 + a2v2 + ldots + anvn) = a1T(v1) + a2T(v2) + ldots + anT(vn) = T(0) = 0 é linearmente independente em , então é linearmente independente em .
Vamos supor que é linearmente independente. Para mostrar que também é, precisamos provar que se em , então todos os devem ser zero.
Aplicando a transformação linear nessa equação, temos:
Como são linearmente independentes, isso implica que .

Passo 4

Agora, vamos para a parte b). Precisamos mostrar que a recíproca não é verdadeira, ou seja, mesmo que seja linearmente independente em , não necessariamente será linearmente independente em .
Vamos construir um contraexemplo simples.

Passo 5

Contraexemplo:
Vamos considerar os espaços vetoriais T(x, y) = x e T(v1) = T(1, 0) = 1 . Definimos a transformação linear T(v2) = T(0, 1) = 0 como sendo a projeção sobre o primeiro componente, ou seja:
Agora, escolha os vetores e em . É fácil ver que é linearmente independente em , porque nenhum vetor é múltiplo do outro.
Vamos ver o que acontece com os vetores transformados:
Então, temos o conjunto em . Esse conjunto não é linearmente independente porque o segundo vetor é zero, e qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente.

Resposta

Assim, mesmo que seja linearmente independente em , o conjunto não é linearmente independente em , mostrando que a recíproca do item a) é falsa.

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