Sejam
vetores em um espaço vetorial
e
um operador linear.
a) Se
é linearmente independente em
então
é linearmente independente em
.
b) Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item a) é falsa, isto é, se
é linearmente independente em
então
é linearmente independente em
.
a) Se
b) Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item a) é falsa, isto é, se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
e outro
, com uma transformação linear
. O exercício está dividido em duas partes:
a) Mostrar que se os vetores transformados
são linearmente independentes em
, então os vetores originais
também são linearmente independentes em
.
b) Apresentar um contraexemplo para provar que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira.
Pra resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e como as transformações lineares afetam isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
implica que
.
Agora, vamos focar na parte a) do exercício.
Passo 3
Queremos provar que se
é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
.
Vamos supor que
é linearmente independente. Para mostrar que
também é, precisamos provar que se
em
, então todos os
devem ser zero.
Aplicando a transformação linear
nessa equação, temos:
Como
são linearmente independentes, isso implica que
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b). Precisamos mostrar que a recíproca não é verdadeira, ou seja, mesmo que
seja linearmente independente em
, não necessariamente
será linearmente independente em
.
Vamos construir um contraexemplo simples.
Passo 5
Contraexemplo:
Vamos considerar os espaços vetoriais
e
. Definimos a transformação linear
como sendo a projeção sobre o primeiro componente, ou seja:
Agora, escolha os vetores
e
em
. É fácil ver que
é linearmente independente em
, porque nenhum vetor é múltiplo do outro.
Vamos ver o que acontece com os vetores transformados:
Então, temos o conjunto
em
. Esse conjunto não é linearmente independente porque o segundo vetor é zero, e qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente.
Resposta
Assim, mesmo que
seja linearmente independente em
, o conjunto
não é linearmente independente em
, mostrando que a recíproca do item a) é falsa.