Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:
d) centro
, um dos focos
e um dos vértices
;
e
d) centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de hipérbole! O enunciado nos dá o centro da hipérbole
, um foco
, um vértice
e as equações das assíntotas
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações de hipérbole e coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a hipérbole está centrada na origem
. Como temos um foco em
e um vértice em
, isso indica que a hipérbole está inclinada, ou seja, rotacionada em relação aos eixos tradicionais.
Passo 3
A distância do centro ao foco é denotada por
, e a distância do centro ao vértice é
. Calculando essas distâncias:
Passo 4
Sabemos que em uma hipérbole,
. Já temos
e
. Vamos encontrar
:
Passo 5
As assíntotas da hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
e
. Então, temos:
Confirmando que
e
, mas anteriormente encontramos
. Parece que há uma inconsistência, então vamos ajustar nossos valores considerando a inclinação.
Passo 6
Como a hipérbole está inclinada, usamos a equação geral de uma hipérbole rotacionada em 45 graus (pois o foco e o vértice estão na mesma linha
):
Substituindo
e
, a equação fica:
Resposta
A equação da hipérbole é: