Aplicações
(5.5) A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital
por trabalho
, denotada por TMST
, que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo
a função produção, mostra-se que
. Para a função produção
mostre que a taxa marginal de substituição técnica é
.
(5.5) A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de microeconomia que fala sobre a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST). Basicamente, a TMST nos mostra quantas unidades de capital podemos trocar por uma unidade a mais de trabalho, mantendo a produção constante. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais da função de produção dada. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção que temos:
Aqui,
é a produção,
é o capital,
é o trabalho,
e
são parâmetros positivos.
Passo 3
A TMST é dada por:
Onde
é a derivada parcial de
em relação ao trabalho
, e
é a derivada parcial de
em relação ao capital
.
Passo 4
Vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
Primeiro, consideramos que
, onde
.
Usando a regra da cadeia:
Calculando
:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Similarmente, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a mesma abordagem:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a TMST:
Resposta
Então, mostramos que a Taxa Marginal de Substituição Técnica é: