Aplicações
(5.5) A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital K por trabalho L, denotada por TMST L, K, que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo P(K, L) a função produção, mostra-se que TMST(L, K) P_L / P_K. Para a função produção
P = f(l, k) = (alpha * k^(-theta) + (1 - alpha) * l^(-theta))^(-1/theta)
mostre que a taxa marginal de substituição técnica é TMST(l, k) = ((1 - alpha) / alpha) * (k / l)^(theta + 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de microeconomia que fala sobre a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST). Basicamente, a TMST nos mostra quantas unidades de capital podemos trocar por uma unidade a mais de trabalho, mantendo a produção constante. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais da função de produção dada. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção que temos:
Aqui, é a produção, é o capital, é o trabalho, e são parâmetros positivos.

Passo 3

A TMST é dada por:
Onde é a derivada parcial de em relação ao trabalho , e é a derivada parcial de em relação ao capital .

Passo 4

Vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :
Primeiro, consideramos que , onde .
Usando a regra da cadeia:
Calculando :
Calculando :
Então:

Passo 5

Similarmente, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :
Usando a mesma abordagem:
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a TMST:

Resposta

Então, mostramos que a Taxa Marginal de Substituição Técnica é:

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