Use integral dupla para calcular o volume do sólido:
limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x + 2y + z = 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano . Queremos expressar em função de e para facilitar a integração. Fazendo isso, temos:
Isso nos dá a altura do sólido em qualquer ponto na base.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a região de integração no plano . Como o sólido está limitado pelos planos coordenados, , e são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, a equação deve ser não negativa:
Vamos encontrar os limites de e :
Quando :
Quando :
Então, a região de integração é um triângulo com vértices em , e no plano .

Passo 4

Para configurar a integral dupla para o volume, usamos:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Podemos integrar primeiro em e depois em :
Para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos o resultado obtido em relação a :
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano é 6 unidades cúbicas.

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