Use integral dupla para calcular o volume do sólido:
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
.
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano dado pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano
. Queremos expressar
em função de
e
para facilitar a integração. Fazendo isso, temos:
Isso nos dá a altura do sólido em qualquer ponto
na base.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a região de integração no plano
. Como o sólido está limitado pelos planos coordenados,
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, a equação
deve ser não negativa:
Vamos encontrar os limites de
e
:
Quando
:
Quando
:
Então, a região de integração é um triângulo com vértices em
,
e
no plano
.
Passo 4
Para configurar a integral dupla para o volume, usamos:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Podemos integrar primeiro em
e depois em
:
Para cada
,
varia de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos o resultado obtido em relação a
:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
é 6 unidades cúbicas.