Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita.
A região do primeiro quadrante limitada por
e
, com
.
A região do primeiro quadrante limitada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área de uma região no primeiro quadrante usando integrais duplas em coordenadas polares. A região é limitada pelas curvas
e
, e o ângulo
varia entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área
de uma região é dada por uma integral dupla da forma:
Aqui,
é a distância do ponto à origem, e
é o ângulo.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração:
-
Para
: O problema já nos dá que varia de até . -
Para
: Para cada valor de nesse intervalo, varia de até 1.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
com respeito a
é:
Passo 6
Substituímos esse resultado na integral em relação a
:
Passo 7
Vamos agora integrar em relação a
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Resposta
A área da região é
.