Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita.
A região do primeiro quadrante limitada por r = 1 e r = sen(2θ), com pi/4 <= theta <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área de uma região no primeiro quadrante usando integrais duplas em coordenadas polares. A região é limitada pelas curvas e , e o ângulo varia entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área de uma região é dada por uma integral dupla da forma:
Aqui, é a distância do ponto à origem, e é o ângulo.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração:
  • Para : O problema já nos dá que varia de até .
  • Para : Para cada valor de nesse intervalo, varia de até 1.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de com respeito a é:

Passo 6

Substituímos esse resultado na integral em relação a :

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a . Sabemos que:
Então, a integral fica:

Resposta

A área da região é .

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