integral(x^2+3 x) cdot sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve um polinômio ( ) multiplicado pela função seno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos precisar escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x^2 + 3x e dv = sin(x) , dx . Uma boa regra é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
E o resto será :
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para achar .

Passo 3

Calculando du = ddx(x^2 + 3x) , dx = (2x + 3) , dx :
v = integral sin(x) , dx = -cos(x)
E integrando para encontrar :
Agora temos todos os componentes para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula integral(x^2+3 x) cdot sin(x) , dx = (x^2 + 3x)(-cos(x)) - integral (-cos(x))(2x + 3) , dx :
= -(x^2 + 3x)cos(x) + integral cos(x)(2x + 3) , dx
Simplificando:
Agora, precisamos resolver a nova integral .

Passo 5

Vamos resolver u = 2x + 3 novamente usando integração por partes. Desta vez, vamos escolher:
dv = cos(x) , dx
du = 2 , dx
Calculando v = integral cos(x) , dx = sin(x) e integral cos(x)(2x + 3) , dx = (2x + 3)sin(x) - integral sin(x) cdot 2 , dx :
= (2x + 3)sin(x) - 2 integral sin(x) , dx
integral sin(x) , dx = -cos(x)
Aplicando a fórmula:
= (2x + 3)sin(x) - 2(-cos(x)) = (2x + 3)sin(x) + 2cos(x)
Simplificando:
Calculando a última integral:
Então:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral(x^2+3 x) cdot sin(x) , dx = -(x^2 + 3x)cos(x) + (2x + 3)sin(x) + 2cos(x) + C
Aqui, é a constante de integração que sempre colocamos no final das integrais indefinidas.

Resposta

A integral -(x^2 + 3x)cos(x) + (2x + 3)sin(x) + 2cos(x) + C é igual a:

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