Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas que calculam volumes. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e a função que está sendo integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral externa é de
a
. Para cada valor de
, a integral interna vai de
até
. Isso significa que a região de integração no plano
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que está sendo integrada:
. Essa função representa a altura
do sólido em cada ponto
da região de integração. Ou seja, para cada ponto no triângulo que desenhamos, a altura do sólido é dada por
.
Passo 4
Vamos entender o que essa função nos diz sobre o sólido. Quando
e
,
. Quando
ou
,
. Portanto, o sólido tem uma “base” no plano
que é o triângulo mencionado, e todas as “pontas” do sólido se encontram no ponto
quando
ou
.
Passo 5
Com isso, podemos visualizar o sólido como uma pirâmide triangular (ou tetraedro) que tem sua base no triângulo do plano
e vai até o ponto
no espaço tridimensional.
Resposta
O sólido é um tetraedro com base no triângulo definido por
de 0 a 1 e
de 0 a
no plano
, e altura definida pela função
. Para esboçá-lo, desenhe o triângulo no plano
e conecte cada ponto da base até o ponto
no espaço tridimensional.