Aplicando a definição de limite, calcule se existir:
lim (x, y) (0,0) 4 x y^2x^2+y^2,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico que estuda o comportamento de funções que dependem de duas variáveis quando elas se aproximam de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender como os valores de e influenciam o resultado da função conforme se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar avaliar o limite diretamente substituindo e . Se fizermos isso, o numerador vira 0 e o denominador também vira 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores; precisamos analisar de outra maneira.

Passo 3

Uma técnica comum para investigar limites em duas variáveis é aproximar o ponto de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então ele existe e esse é o valor do limite. Caso contrário, ele não existe.

Passo 4

Vamos testar alguns caminhos diferentes:
Caminho 1: 4x(0)^2x^2+0^2 = 0x^2 = 0
Substituindo na função:
4(0)y^20^2+y^2 = 0y^2 = 0
Então, ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho onde 4x(kx)^2x^2 + (kx)^2 = 4xk^2x^2x^2(1 + k^2) = 4k^2x^3x^2(1 + k^2) = 4k^2x1 + k^2 , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, o termo também se aproxima de 0. Então, para qualquer constante , o limite é 0.

Passo 6

Para garantir que o limite é de fato 0, vamos usar coordenadas polares, que é uma forma geral de abordar limites em duas variáveis.
Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta
onde 4(r costheta)(r sintheta)^2(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = 4r costheta cdot r^2 sin^2thetar^2 (cos^2theta + sin^2theta) = 4r^3 costheta sin^2thetar^2 = 4r costheta sin^2theta é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independente do valor de .

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) 4 x y^2x^2+y^2 = 0

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