Aplicando a definição de limite, calcule se existir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico que estuda o comportamento de funções que dependem de duas variáveis quando elas se aproximam de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender como os valores de e influenciam o resultado da função conforme se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar avaliar o limite diretamente substituindo e . Se fizermos isso, o numerador vira 0 e o denominador também vira 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores; precisamos analisar de outra maneira.

Passo 3

Uma técnica comum para investigar limites em duas variáveis é aproximar o ponto de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então ele existe e esse é o valor do limite. Caso contrário, ele não existe.

Passo 4

Vamos testar alguns caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, o termo também se aproxima de 0. Então, para qualquer constante , o limite é 0.

Passo 6

Para garantir que o limite é de fato 0, vamos usar coordenadas polares, que é uma forma geral de abordar limites em duas variáveis.
Em coordenadas polares, temos:
onde é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independente do valor de .

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Seja e .
Calcule e .
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
f)
Seja e
Calcule e .
Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
b)