Aplicando a definição de limite, calcule se existir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico que estuda o comportamento de funções que dependem de duas variáveis quando elas se aproximam de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender como os valores de e influenciam o resultado da função conforme se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar avaliar o limite diretamente substituindo e . Se fizermos isso, o numerador vira 0 e o denominador também vira 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores; precisamos analisar de outra maneira.
Passo 3
Uma técnica comum para investigar limites em duas variáveis é aproximar o ponto de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então ele existe e esse é o valor do limite. Caso contrário, ele não existe.
Passo 4
Vamos testar alguns caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite também é 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, o termo também se aproxima de 0. Então, para qualquer constante , o limite é 0.
Passo 6
Para garantir que o limite é de fato 0, vamos usar coordenadas polares, que é uma forma geral de abordar limites em duas variáveis.
Em coordenadas polares, temos:
onde é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independente do valor de .