Seja
e
.
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e uma função vetorial
. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de
, que é
, e a derivada da função vetorial em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, vamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial de
em relação a
. Mantendo
constante, derivamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Nesse caso,
, então a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Mantendo
constante, derivamos
em relação a
:
Nessa derivada, novamente aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever o gradiente de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes.
Passo 7
Derivando a primeira componente
em relação a
, temos:
E derivando a segunda componente
em relação a
, temos:
Resposta
Portanto, os resultados são:
e