Seja f(x, y) = e^(x y) e r(t) = (t^2, 1 + t).
Calcule nabla f e d/dt r(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e uma função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de f, que é nabla f, e a derivada da função vetorial em relação a t, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, vamos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial de f em relação a x. Mantendo y constante, derivamos em relação a x:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a x é vezes a derivada de u em relação a x. Nesse caso, , então a derivada de u em relação a x é y.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y. Mantendo x constante, derivamos em relação a y:
Nessa derivada, novamente aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a y é x.

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever o gradiente de f:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial em relação a t. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes.

Passo 7

Derivando a primeira componente t^2 em relação a t, temos:
E derivando a segunda componente em relação a t, temos:

Resposta

Portanto, os resultados são:
e

Exercícios relacionados