Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e uma função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de , que é , e a derivada da função vetorial em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, vamos encontrar e .
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial de em relação a . Mantendo constante, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Nesse caso, , então a derivada de em relação a é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Mantendo constante, derivamos em relação a :
Nessa derivada, novamente aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever o gradiente de :
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes.
Passo 7
Derivando a primeira componente em relação a , temos:
E derivando a segunda componente em relação a , temos: