Seja e .
Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e uma função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de , que é , e a derivada da função vetorial em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, vamos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial de em relação a . Mantendo constante, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Nesse caso, , então a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Mantendo constante, derivamos em relação a :
Nessa derivada, novamente aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever o gradiente de :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes.

Passo 7

Derivando a primeira componente em relação a , temos:
E derivando a segunda componente em relação a , temos:

Resposta

Portanto, os resultados são:
e

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Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
f)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
a) .
Aplicando a definição de limite, calcule se existir:
Seja e
Calcule e .