Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Basicamente, precisamos identificar o menor limite inferior (ínfimo) e o maior limite superior (supremo) desse conjunto. Para isso, vamos analisar os termos que formam o conjunto e entender como eles se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos do conjunto . Cada termo é da forma , onde é um número natural positivo (1, 2, 3, …). Isso significa que os termos alternam entre positivos e negativos dependendo se é par ou ímpar. Vamos listar alguns termos para visualizar:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Observamos que quando é par, os termos são positivos e vão diminuindo de valor conforme aumenta ( ). Quando é ímpar, os termos são negativos e também vão aproximando-se de zero, mas sempre negativos ( ).

Passo 4

Agora, vamos identificar o supremo e o ínfimo:
  • Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando os termos positivos, o maior valor é (quando ). Como os demais termos positivos são menores que e os negativos não influenciam o supremo, concluímos que o supremo é .
  • Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando os termos negativos, o menor valor é (quando ). Como os demais termos negativos estão entre e e os positivos não influenciam o ínfimo, concluímos que o ínfimo é .

Resposta

O supremo de é e o ínfimo é .

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Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
a) .
Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
a)
Seja e .
Calcule e .
Aplicando a definição de limite, calcule se existir: