Seja
e
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e um vetor
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função e a derivada de um vetor em relação a uma variável. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais para o gradiente e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
, que é representado por
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Para
, temos duas variáveis:
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de um vetor em relação a uma variável é simplesmente a derivada de cada componente do vetor.
Dado
, vamos derivar cada componente:
Então, a derivada fica:
Resposta
O gradiente de
é:
E a derivada de
em relação a
é: