Seja f(x, y) = x * y^2 e r(t) = (1/2 t^2, t^3)
Calcule nabla f e d/dt r(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e um vetor . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função e a derivada de um vetor em relação a uma variável. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais para o gradiente e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de , que é representado por . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Para , temos duas variáveis: e .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada de um vetor em relação a uma variável é simplesmente a derivada de cada componente do vetor.
Dado , vamos derivar cada componente:
Então, a derivada fica:

Resposta

O gradiente de é:
E a derivada de em relação a é:

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