Aplicando a lei de Gauss a) ache a expressão para o campo elétrico gerado por uma barra não condutora de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas positivas lambda. Considere um cilindro muito longo (infinito) de raio R que possui uma distribução volumétrica de cargas uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma barra infinita que não conduz eletricidade e tem uma distribuição de carga uniforme, ou seja, uma densidade linear de carga positiva . Queremos encontrar a expressão para o campo elétrico gerado por essa barra usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como a simetria do problema facilita a aplicação dessa lei.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 (permitividade do vácuo). Matematicamente, é:
Como a barra é infinita e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que respeite essa simetria, ou seja, um cilindro coaxial com a barra.

Passo 3

Vamos imaginar um cilindro de raio e comprimento , onde é a distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico até a barra. Por causa da simetria, o campo elétrico será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos a mesma distância da barra.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície do cilindro. O fluxo é a integral do campo elétrico pela área:
oint E cdot dA = E cdot (2pi r L)
Aqui, é a área lateral do cilindro (as bases não contribuem porque é paralelo às bases e o produto escalar é zero).

Passo 5

Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Como a densidade linear de carga é Qdentro = lambda L e o comprimento do cilindro é E cdot (2pi r L) = lambda Lepsilon0 , a carga total é:
E cdot 2pi r = lambdaepsilon0
Aplicando a Lei de Gauss:
E = lambda2pi epsilon0 r
Podemos simplificar dos dois lados:
Finalmente, isolando :

Resposta

O campo elétrico gerado pela barra infinita é dado por:
E(r) = lambda2pi epsilon0 r

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