Aplicando a lei de Gauss a) ache a expressão para o campo elétrico gerado por uma barra não condutora de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas positivas
. Considere um cilindro muito longo (infinito) de raio
que possui uma distribução volumétrica de cargas uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma barra infinita que não conduz eletricidade e tem uma distribuição de carga uniforme, ou seja, uma densidade linear de carga positiva
. Queremos encontrar a expressão para o campo elétrico gerado por essa barra usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como a simetria do problema facilita a aplicação dessa lei.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
(permitividade do vácuo). Matematicamente, é:
Como a barra é infinita e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que respeite essa simetria, ou seja, um cilindro coaxial com a barra.
Passo 3
Vamos imaginar um cilindro de raio
e comprimento
, onde
é a distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico até a barra. Por causa da simetria, o campo elétrico
será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos a mesma distância
da barra.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície do cilindro. O fluxo é a integral do campo elétrico pela área:
Aqui,
é a área lateral do cilindro (as bases não contribuem porque
é paralelo às bases e o produto escalar é zero).
Passo 5
Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Como a densidade linear de carga é
e o comprimento do cilindro é
, a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Resposta
O campo elétrico gerado pela barra infinita é dado por:
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