Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: tan (pi2-theta)=cot theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que tan (pi2-theta)=cot theta. Isso está dentro da matéria de trigonometria, especificamente nas identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de tangente e cotangente, além de algumas identidades fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é tangente e cotangente. A tangente de um ângulo é o quociente entre o seno e o cosseno desse ângulo:
tan alpha = sin alphacos alpha
Já a cotangente é o inverso da tangente:
cot alpha = cos alphasin alpha

Passo 3

Agora, vamos aplicar a identidade para o ângulo pi2 - theta. Substituindo na definição de tangente:
tan (pi2 - theta) = sin (pi2 - theta)cos (pi2 - theta)

Passo 4

Vamos usar as identidades de co-funções:
sin (pi2 - theta) = cos theta
cos (pi2 - theta) = sin theta
Substituindo essas na expressão anterior:
tan (pi2 - theta) = cos thetasin theta

Passo 5

E olha só, cos thetasin theta é exatamente a definição da cotangente:
cos thetasin theta = cot theta
Então, temos que:
tan (pi2 - theta) = cot theta

Resposta

Portanto, demonstramos que tan (pi2-theta)=cot theta.

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