Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
b) lim x -infty(1+1x)^34 x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar o Limite Exponencial Fundamental, que nos ajuda a lidar com expressões da forma , que se aproxima de quando tende ao infinito. Vamos aplicar essa ideia para encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação do limite exponencial. Observamos que à medida que tende a , tende a . Então, podemos pensar na expressão como uma variação da forma básica do limite exponencial.

Passo 3

Vamos reescrever o expoente (1 + 1x)^34 x = [(1 + 1x)^x]^34 em termos de [(1 - 1n)^-n]^34 para simplificar a análise:
Aqui, se considerarmos tendendo a , podemos substituir por , onde tende a . Assim, a expressão fica:

Passo 4

Sabemos que (1 - 1n)^-n = (nn-1)^n = (1 + 1n-1)^n approx e . Isso porque:
[(1 - 1n)^-n]^34 approx e^34
Portanto, podemos substituir na nossa expressão:

Passo 5

Finalmente, voltando ao limite original, temos que:
lim x -infty (1 + 1x)^34 x = e^34

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule:
d) lim x 0 sen 1 x5 x
Considere a função, definida em R por:
f(x) = { 2(x - 2), x < 1; k x, x ≥ 1 }
Calcular o valor e k para que a função seja contínua em x = 1.
Determine:
b) lim x 0 1-tg xcos x-sen x
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
e) lim x +infty(1+1x-3)^x