Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
e) lim x +infty(1+1x-3)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite exponencial fundamental de uma expressão, ou seja:
lim x +infty(1+1x-3)^x
Aqui, estamos trabalhando com limites exponenciais, que geralmente envolvem a constante e. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a expressão para aplicar o conceito do limite fundamental que define o número e.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o limite fundamental exponencial:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Nossa meta é transformar a expressão do exercício para que ela se pareça com esse limite fundamental.

Passo 3

Observe que na nossa expressão original temos x - 3 no denominador. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável: seja n = x - 3. Quando x tende a +infty, n também tende a +infty.
Substituindo n na expressão, temos:
(1 + 1x-3)^x = (1 + 1n)^n + 3
Aqui, x = n + 3.

Passo 4

Agora, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar:
(1 + 1n)^n + 3 = (1 + 1n)^n cdot (1 + 1n)^3
Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
E:
limn to infty (1 + 1n)^3 = 1^3 = 1
Multiplicando os limites:
e cdot 1 = e

Resposta

O limite solicitado é e.

Exercícios relacionados

Determine:
b) lim x 0 1-tg xcos x-sen x
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
b) lim x -infty(1+1x)^34 x
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumj=2^infty (-1)^-j 2^2 j6^j+3
Calcule: lim x 0^+ 5x-x^2