Aplicando as técnicas dos limites fundamentais, determine os seguintes limites: lim x 0 sen(6 x)+sen(4 x)e^2 x-e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o limite quando lim x 0 sen(6x) + sen(4x)e^2x - e^x se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e exponencial se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: .
Sabemos que quando sen(6x) approx 6x e sen(4x) approx 4x é muito pequeno, pode ser aproximado por sen(6x) + sen(4x) approx 6x + 4x = 10x (onde é uma constante). Isso acontece porque, perto de 0, o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos.
Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: e^kx approx 1 + kx .
Para e^2x approx 1 + 2x e e^x approx 1 + x próximo de 0, a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
e^2x - e^x approx (1 + 2x) - (1 + x) = 2x - x = x
Onde é a constante no expoente. Aplicando isso:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos as aproximações que encontramos de volta na expressão original:
Os lim x 0 sen(6x) + sen(4x)e^2x - e^x approx lim x 0 10xx no numerador e denominador se cancelam:
10xx = 10

Resposta

O limite é igual a .

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