Aplicando as técnicas dos limites fundamentais, determine os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e exponencial se comportam perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador: .
Sabemos que quando
é muito pequeno, pode ser aproximado por
(onde
é uma constante). Isso acontece porque, perto de 0, o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos.
Então,
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
.
Para
próximo de 0, a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
Onde
é a constante no expoente. Aplicando isso:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos as aproximações que encontramos de volta na expressão original:
Os
no numerador e denominador se cancelam:
Resposta
O limite é igual a
.
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Escolha apenas um item entre os três abaixo, use a definição de limite, e mostre que
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Usando a definição de limite, mostre que
Aplicando as técnicas dos limites fundamentais, determine os seguintes limites: