Usando a definição de limite, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
, a função
tende a
. Para isso, vamos lembrar do que é limite e como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição de limite que estamos usando. Quando dizemos que
estamos afirmando que, à medida que
se aproxima de
pela esquerda, os valores de
ficam maiores e maiores sem limite. Ou seja, para qualquer número grande que você imaginar, podemos encontrar valores de
próximos a
pela esquerda que fazem
maior que esse número.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função:
Queremos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
pela esquerda (
).
Passo 4
Vamos observar o numerador e o denominador separadamente:
-
Numerador:
. Como é um quadrado, sempre será positivo, independente do valor de . -
Denominador:
. Podemos fatorar isso como .
Quando
está se aproximando de
pela esquerda, ou seja,
, o termo
será um número negativo muito pequeno, porque
está logo abaixo de
. Portanto,
será uma quantidade positiva, mas muito pequena, já que está perto de zero.
Passo 5
Vamos ver o que acontece com
:
-
O numerador
está se aproximando de . -
O denominador
está se aproximando de zero pelo lado positivo.
Então, temos:
Quando dividimos um número positivo fixo por um número positivo que está se aproximando de zero, o resultado fica cada vez maior, indo para o infinito positivo.
Passo 6
Portanto, seguindo a definição de limite, como
se aproxima de
pela esquerda,
cresce sem limites, ou seja, tende a
.
Resposta
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