Usando a definição de limite, mostre que
lim x -2^- 4 x^2x^2-4=+infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, , a função tende a . Para isso, vamos lembrar do que é limite e como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição de limite que estamos usando. Quando dizemos que
lim x a^- f(x) = +infty,
estamos afirmando que, à medida que se aproxima de pela esquerda, os valores de ficam maiores e maiores sem limite. Ou seja, para qualquer número grande que você imaginar, podemos encontrar valores de próximos a pela esquerda que fazem maior que esse número.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função:
f(x) = 4x^2x^2-4
Queremos analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de pela esquerda ( ).

Passo 4

Vamos observar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: . Como é um quadrado, sempre será positivo, independente do valor de .
  • Denominador: . Podemos fatorar isso como .
Quando está se aproximando de pela esquerda, ou seja, , o termo será um número negativo muito pequeno, porque está logo abaixo de . Portanto, será uma quantidade positiva, mas muito pequena, já que está perto de zero.

Passo 5

Vamos ver o que acontece com f(x) = 4x^2x^2-4 approx 16número positivo muito pequeno :
  • O numerador está se aproximando de .
  • O denominador está se aproximando de zero pelo lado positivo.
Então, temos:
ú
Quando dividimos um número positivo fixo por um número positivo que está se aproximando de zero, o resultado fica cada vez maior, indo para o infinito positivo.

Passo 6

Portanto, seguindo a definição de limite, como se aproxima de pela esquerda, cresce sem limites, ou seja, tende a .

Resposta

lim x -2^- 4x^2x^2-4 = +infty

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