Escolha apenas um item entre os três abaixo, use a definição de limite, e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 3. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número pequeno , conseguimos encontrar outro número pequeno tal que, sempre que , então .
Passo 3
No nosso caso, queremos provar que . Então, e . Vamos começar calculando :
Agora, percebemos que x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
| (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x + 2 |
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, queremos que essa expressão seja menor que . Vamos escolher de forma que . Precisamos também controlar .
Passo 7
Para facilitar, vamos supor que 1^2 + 2 times 1 + 4 = 7 e 3^2 + 2 times 3 + 4 = 19 . Assim, se , então está entre 1 e 3. Vamos calcular nesse intervalo: