Escolha apenas um item entre os três abaixo, use a definição de limite, e mostre que lim x 2 x^3+3 x-2x+2=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 3. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número pequeno , conseguimos encontrar outro número pequeno tal que, sempre que , então .

Passo 3

No nosso caso, queremos provar que | x^3 + 3x - 2x + 2 - 3 | . Então, e . Vamos começar calculando :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
| x^3 + 3x - 2x + 2 - 3 | = | x^3 + 3x - 2 - 3(x + 2)x + 2 |
Simplificando o numerador:
x^3 + 3x - 2 - 3x - 6 = x^3 - 8
Então, temos:
| x^3 - 8x + 2 |

Passo 5

Agora, percebemos que x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
| (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x + 2 |
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, queremos que essa expressão seja menor que . Vamos escolher de forma que . Precisamos também controlar .

Passo 7

Para facilitar, vamos supor que 1^2 + 2 times 1 + 4 = 7 e 3^2 + 2 times 3 + 4 = 19 . Assim, se , então está entre 1 e 3. Vamos calcular nesse intervalo:
Portanto, .

Passo 8

Agora, queremos que:
| (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x + 2 | < epsilon
Sabemos que | (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x + 2 | <= |x - 2| cdot 193 = 193 |x - 2| . Então:
193 |x - 2| < epsilon implies |x - 2| < 319 epsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 9

Então, podemos escolher:
de
Com essa escolha de , garantimos que sempre que , temos .

Resposta

Assim, pela definição de limite, mostramos que .

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